14.5.2. Криволинейные интегралы второго рода (ки-2)

Пусть: 1) в точках непрерывной кривой AB из пространства определены ограниченные скалярные функции ; 2) – произвольное разбиение кривой AB на элементарные дуги с длинами и проекциями , , на соответствующие оси координат; 3) – произвольный набор точек; 4)

– интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и данному выбору точек.

Определение. Конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения AB, ни от выбора точек , называется криволинейным интегралом вто-

рого рода от функций по пути AB:

.

Механически КИ-2 представляет собой работу переменной силы , точка приложения которой описывает кривую AB.

Вычисление ки-2

Теорема 14.7. Если линия AB задана в параметрической форме: , где – непрерывно дифференцируемые функции, и при изменении параметра t от к кривая описывается именно от точки A к точке B, то

(14.28)

причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл.

Следствия. А) Для плоской линии ab: и функций , :

.

б) Для заданной явно плоской линии

. (14.29)

Независимость ки-2 от пути интегрирования

Теорема 14.8. Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной поверхностно односвязной области V, то равносильны следующие четыре утверждения:

1 ) , где l – замкнутый контур, лежащий внутри V;

2) не зависит от выбора пути интегрирования;

3) есть полный дифференциал некоторой однозначной функции , заданной в точках V;

4) выполняются равенства: .

Функция может быть найдена, например, по формуле

(14.30)

где – некоторая фиксированная точка области V, c – произвольная постоянная.

Связь между ки-1 и ки-2

Пусть спрямляемая (не имеющая особых точек) линия AB имеет в каждой точке касательную, положительное направление которой составляет с осями координат углы . Тогда

.

Связь ки-2 с двойным интегралом (формула Грина)

Теорема 14.9. Пусть: 1) функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные в открытой односвязной области ; 2) l – кусочно-гладкий контур, ограничивающий область , и при положительном обходе l ближайшая часть области S находится слева от наблюдателя. Тогда справедлива формула:

.

Площадь плоской области. Площадь s фигуры S, ограниченной простым кусочно-гладким контуром l, равна

.

Пример 20. Вычислить КИ-2 , где L – дуга параболы , проходимая от точки до точки .

 Кривая l представлена на рис. 14.24. По формуле (14.29) имеем

= . 

Пример 21. Вычислить КИ-2 , где l – замкнутый контур, полученный пересечением сферы и цилиндра , обходимый против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (рис. 14.25).

 Для вычисления КИ-2 представим l в параметрической форме. Поверхность запишем в виде . Последнее равенство выполнится тождественно, если положить, например, , , . Тогда из уравнения сферы имеем = = = . Отсюда, помня, что , имеем . Итак, ; , , . По формуле (14.28) =

= .

Пример 22. Найти первообразную функции , если .

 По формуле (14.30) при получим

. 