14.3.3. Замена переменных в тройном интеграле

Пусть функции осу-ществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области  из пространства Ouvw на область V пространства Oxyz. Тогда существует обратное непрерывно дифферен-цируемое отображение области V на область , если якобиан преобразования

.

Величины u, v, w можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области  и в то же время как криволинейные координаты точек области V. Точки пространства Oxyz , для которых одна из координат u, v, w сохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всего будет три семейства таких поверхностей.

Теорема 14.5. Пусть , , есть дифференцируемое преобразование области  из пространства Ouvw в область V из пространства Oxyz. Тогда

(14.16)

З а м е ч а н и е. Последнее равенство сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями V и  нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий, или на отдельных поверхностях.

Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам

Формулы преобразуют цилиндрические координаты точки M в декартовы координаты этой точки и переводят область изменения криволинейных координат (или

) на все пространство Oxyz. Геометрически:  – радиус-вектор OM точки P – проекции точки M на плоскость Oxy;  – угол между Ox и OP; z – аппликата точки M (рис. 14.17).

О братное преобразование задается формулами:

Фиксируя в последних формулах , получим тройку координатных поверхностей: круговой цилиндр с осью Oz , полуплоскость, исходящую из оси Oz, и плоскость, параллельную плоскости Oxy (рис. 14.17) Якобиан преобразования

При переходе в тройном интеграле к цилиндрическим координатам формула (14.16) примет вид:

, (14.17)

где  – область изменения цилиндрических координат точек области V из Oxyz.

Переход к сферическим координатам

Формулы , , преоб-разуют сферические координаты точки M в декартовы ко- ординаты этой точки и переводят область (или ) изменения сферических координат на все пространство Oxyz.

Г еометрически: r – радиус-вектор OM точки M;  – угол между осью Ox и проекцией радиуса-вектора r на плоскость Oxy;  – угол между осью Oz и радиус-вектором r, отсчитываемый по ходу стрелки часов (рис. 14.18). Обратное преобразование имеет вид

, ,

,

Фиксируя в последних формулах , получим тройку координатных поверхностей: сферу, полуплоскость, полуконус, соответственно, (рис. 14.18). Якобиан преобразования

.

При переходе в тройном интеграле к сферическим координатам справедлива формула:

, (14.18)

где  – область изменения сферических координат точек области V из Oxyz.

Пример 12. Вычислить тройной интеграл , где .

 Область V ограничена полусферой и полуконусом (рис. 14.18). Для удобства вычисления трой- ного интеграла перейдем к сферическим координатам по фор- мулам: , при этом . Неравенства, описывающие V , преобра-зуются: а)

б) .

Т ак как нет ограничений на , то . В итоге область ин-

тегрирования в сферических координатах есть (этот же результат можно было усмотреть из чертежа). Тогда по формуле (14.18) =повторный интеграл «расщепился» в произведение определенных интегралов = = . 

Пример 13. Вычислить тройной интеграл , где V ограничена полусферой , цилиндром и плоскостью .

 Тело V и проекция его на плоскость Oxy – круг радиуса R изображены на рис. 14.19 и 14.20. Для вычисления I перейдем к цилиндрическим координатам по формулам . Поверхности, ограничивающие V , преобразуются: а) ;

б ) ; в) z = a . Так как нет ограничений на ко- ординату , то (или .Область интегрирова- ния в цилиндрических координатах есть .

Тогда по формуле (14.17)

= = = =

= =

= = . 

14.4. Некоторые приложения двойных

и тройных интегралов

1. Площадь фигуры. а) Для плоской фигуры

. (14.19)

б) Площадь части искривленной поверхности рассматривается в разделе 14.6 этой главы.

2. Объем тела V: ( – проекция V на плоскость Oxy):

(14.20)

или

. (14.21)

3. Масса. а) Если – поверхностная плотность массы плоской фигуры , то

. (14.22)

б) если – объемная плотность массы тела , то

. (14.23)

Для однородных фигур и тел плотность примем равной единице.

4. Статические моменты и координаты центра тяжести. а) Для плоской фигуры c плотностью и массой m статические моменты относительно координатных осей Oy и Ox соответственно:

, ;

координаты центра тяжести:

, .

б) Для тела V с плотностью и массой m статичес-кие моменты относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:

, , ;

координаты центра тяжести:

, , .

Пример 14. Найти массу пластинки с поверхностной плотностью .

 По формуле (14.22) . Область D и подынтегральная функция совпадают с областью интегрирования и функцией из примера 9 в разд. 14.2.4 при ; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтому и при . 

Пример 15. Найти массу тела. , если объемная плотность .

 По формуле (14.23) . Тройной интеграл I по данной области V вычислен в примере 12 из разд. 14.3.3, , и потому .

Пример 16. Найти объем тела ; , .

 Из формулы (14.21) . Тело V ограничено сферами, полуконусами и плоскостями (рис. 14.21).

а

z

х² + у² + z² = r₂²

х² + у² + z² = r₁²

y

x

Из анализа уравнений и вида поверхностей следует целесо- образность перехода к сферическим координатам по формулам: , , . Поверхности, ограничивающие V, преобразуются:

1) ;

2) ;

3) или ;

4) ;

5) ; 6) .

Область изменения сферических координат точек области V есть .

Тогда в силу формулы (14.18) =

. 