14.2.2. Повторный интеграл

Определение. Повторный интеграл есть приращение первообразной F(x,y) для по переменному y, проинтегрированное по переменному x , т.е.

.

Определение. Повторный интеграл есть приращение первообразной Ф(x, y) для f (x, y) по переменному x, проинтегрированное по переменному y, т.е.

=

= .

Пример 3. Вычислить повторный интеграл .

 |, интегрируя внутренний интеграл по y, полагаем x постоянным |

= . 

14.2.3. Вычисление двойного интеграла

в декартовых координатах

Теорема 14.1 Если : 1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Oy области S: , т.е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то

(14.5)

Теорема 14.2. Если: 1) функция f (x, y) интегрируема в правильной в направлении Ox области , т.е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то

(14.6)

Из приведенных выше теорем следует, что при вычислении повторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

 Так как из (14.6) имеем , то правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x = y, x = 2 – y, y = 0, y = 1 (линия y = 1 выродилась в точку) (рис. 14.7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB границы состоит из отрезков прямых и , то , где (см. (14.3))

, .

Итак, = =

= . 

Пример 5. Вычислить по области D, ограниченной линиями и .

 Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол и решаем уравнение , отсюда имеем действительные корни , . Таким образом, параболы пересекаются в точках (рис. 14.8). Рассматривая область D как правильную в направлении Oy (рис. 14.8а), имеем (см. (14.3)) . По формуле (14.3)

=

= .

Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис. 14.8б), то (см. (14.4)) . По формуле (14.6)

= =

= . 

14.2.4. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть функции осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости на область S плоскости . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение , области S на область P, если якобиан преобразования

= .

Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат u и v сохраняет постоянное значение, образуют координатную линию. Всего будет два семейства таких линий.

Теорема 14.3. Пусть есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости на область S из плоскости . Тогда справедливо равенство

(14.7)

З а м е ч а н и е. Равенство (14.7) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.

Переход в двойном интеграле к полярным координатам

Формулы

(14.8)

преобразуют полярные координаты точки в декартовы координаты этой точки и переводят область (или область ) на всю плоскость Oxy.

Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам:

Фиксируя в последних формулах и , получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке и луч, исходящий из точки .

Якобиан преобразования

,

и формула (14.7) принимает вид:

(14.9)

Рекомендация. К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация .

В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к обобщенным полярным координатам по формул

, , (14.10)

– постоянные, . Тогда

, . (14.11)

Пример 6. Записать в полярной системе координат область S, заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке .

 Перейдем от декартовых координат x, y к полярным по формулам , . Подставим x и y в исходное неравенство, получим: или . На координату  дополнительных ограничений не накладывается, поэтому (или ). В полярной системе координат круг записывается неравенствами:

. 

Пример 7. Записать в полярной системе координат область S – часть круга, ограниченную линиями , , ( ), – постоянные, .

 Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , :

1)  ;

2)  , ;

3)  .

Область переходит в область .

В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств: . 

Пример 8. Вычислить двойной интеграл S – множество точек, удовлетворяющих неравенству .

 Границей области является линия или – окружность радиуса 2 с центром в точке (рис. 14.10).

Наличие в уравнении границы комбинации наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам по формулам , , . Уравнение границы переходит в уравнение или . Отсюда  = 0 (соответствует полюсу O) и – уравнение окружности. Так как всегда (по смыслу ), то из следует , отсюда получаем (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть . Тогда по формуле (14.9)

. 

Пример 9. Вычислить , где

.

 Область D ограничена линиями: – эллипс с полуосями a и b, – эллипс с полуосями и , y = 0 – прямая (ось Ox), – прямая (рис. 14.11).

Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к обобщенным полярным координатам по формулам (14.10),

( 14.11): ,

. Уравнения границы области в координатах будут: 1) ;

2) ;

3) ; 4) . Итак, область интегрирования в координатах есть

.

Тогда

. 