30.Стохастические сети массового обслуживания: определение, классификация, характеристики, область применения.

Стохастические сети массового обслуживания

СеМО – это совокупность одноканальных и многоканальных систем массового обслуживания.

Р еальные СеМО состоят из более 100 СМО.

а) Одноканальная СМО

б)Многоканальная СМО

Классификация СеМО.

1. По типу сетей. Признаки:

1. Открытая (разомкнутая) СеМО. Есть входной поток заявок ₀, есть выходной поток заявок.

2. Замкнутая СеМО. Ни входных, ни выходных потоков заявок нет. М – фиксированное число заявок, циркулирующих в сети.

Разомкнутая сеть

а) Разомкнутая СеМО б) Замкнутая СеМО

Замкнутых СеМО в реальной жизни практически нет, они используются как математическая модель для имитации систем мультипрограммирования многотерминальных систем и т.д..

Пример ЗсеМО – кассовые аппараты в магазине - всегда М заявок (клиентов) по числу касс.

2. По типу закона распределения времени обслуживания и входного потока сети бывают:

1. Экспоненциальные, т.е. состоящие из систем типа М/М/1 и М/М/n.

2. Неэкспоненциальные, т.е системы D/D/1 или Е/M/1 или E/E/n

Будем рассматривать открытые и закрытые экспоненциальные сети.

Параметры стохастических сетей

1. Число систем массового обслуживания n

2. Число каналов обслуживания в каждой СМО k_i , i = 1..n

3. Матрица вероятностей (вероятностей перехода из одной системы обслуживания в другую) передач.

P_ij – вероятность того, что после обслуживания в СМО S_i заявка перейдет в СМО S_j.

P_ij + P_ik = 1

P = ||P_ij|| - стохастическая матрица, по строкам сумма элементов равна 1.

Матрица квадратная.

S₀ – бесконечный источник заявок (в нем всегда есть заявки)

4. Число заявок, циркулирующих в сети (для замкнутой сети) m

Или интенсивность источника (для разомкнутой сети) ₀

5. Среднее время обслуживания заявок в СМО сети ₁, ₂, …, _n

31.Определение интенсивностей потоков и коэффициентов передачи.

Определение интенсивностей потоков и коэффициентов передачи

S₁, S₂, S₃, S₄ - СМО

Данную СеМО желательно свести к виду:

Рассмотрим три СМО: S_j, S_j+1 S_i

Задана матрица переходных вероятностей.

_вх = _вых

Составляем систему уравнений:

Система уравнений может быть записана в каноническом виде:

(*)

Решив (*) найдем  либо соотношение _i и ₀

Для замкнутых СеМО _i = α_0j₀

α_0j = _i/₀ – коэффициент передачи

Для разомкнутых СеМО α_j = _i/₀

В сети с обратными связями показывает, сколько раз в процессе решения задач она проходит через СМО S_j 0 < α_j < ∞

В сети без обратных связей α_j показывает долю потока, который проходит через СМО

S_j 0 < α_j < 1

Пример. Для разомкнутой сепи

Пусть ₀ = 5 с^-1

P₁₀ = 0.1

P₁₂ = 0.4

P₁₃ = 0.5

Запишем систему уравнений

Уравнение локального баланса:

_ВХ = _ВЫХ

₀ = P₁₀₁

₁ = ₀ + ₂ + ₃

₂ = ₁P₁₂

₂ = ₁P₁₃

5 = 0.1₁ ₁ = 50

50 = 5 + ₂ + ₃ ₃ = 24

₂ = 0.4 0.5 = 20 ₂ = 20

Коэффициенты α_j :

α₁ = 50/5 = 10

α₂ = 20/5 = 4

α₃ = 25/5 = 5

Время ответа = Время ответа 1 α₁ + Время ответа 2 α₂ + …….

Для замкнутой сепи

P

P₁₀

₁₀ = 0.1

P₁₂ = 0.4

P₁₃ = 0.5

P₂₁ = 0.2

P₂₃ = 0.8

λ₁ = 10λ₀ → α₁ = 10

λ₂ = 4λ₀ → α₂ = 4

λ₃ = 8.2λ₀ → α₃ = 8.2