4) Осевая плоскость.

Осевая плоскость проходит через одну из осей координат.

У осевой плоскости два следа совпадают с одной из осей координат (в нашем примере на рис. 35 – с осью x), а плоскость является проецирующей.

Так как плоскость не может быть задана двумя совпадающими друг с другом следами, то для однозначного определения ее положения необходимо знать положение еще хотя бы одной точки, лежащей в этой плоскости, одна из проекций которой лежит на соответствующем следе этой плоскости (в нашем примере на рис.35 – проекция D).

Плоскости, параллельные двум осям координат

Если плоскость параллельна двум осям координат, то она параллельна той плоскости проекций, в которой лежат эти оси. В нашем примере (рис. 36) плоскость  параллельна осям координат x и y, следовательно, она параллельна горизонтальной плоскости проекций и называется горизонтальной плоскостью.

Аналогичным образом можно построить фронтальную и профильную плоскости, т.е. плоскости параллельные соответственно фронтальной и профильной плоскостям проекций.

Такие плоскости также являются двояко-проецирующими плоскостями, т.е. перпендикулярными к двум другим плоскостям проекций.

Все, что лежит в такой плоскости в двух плоскостях проекций (к которым она перпендикулярна) проецируется на ее следы, а на третью плоскость проекций (которой она параллельна) – в истинную величину.

Вышеуказанные особенности проецирования точек (объектов), принадлежащих проецирующим плоскостям и плоскостям, параллельным какой либо плоскости проекций, в дальнейшем будут использоваться для оптимизации решения метрических и позиционных задач.

Лекция 4

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Прямая может занимать относительно плоскости следующие положения:

а) может лежать в плоскости

б) моет быть параллельна плоскости

в ) может пересекать плоскость. Частный случай пересечения – прямая может быть перпендикулярна плоскости.

Прямая лежит в плоскости, если проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости.

Пусть плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС (рис. 37). Проведем в этой плоскости прямую 1-2. Эта прямая лежит в заданной плоскости, так как проходит через две точки 1 и 2,лежащие в этой плоскости.

Рассмотрим вариант, когда плоскость задана следами (рис. 38). В этом случае, если прямая лежит в плоскости, то следы прямой лежат на одноименных следах плоскости.

Это же правило можно сформулировать и иначе: плоскость проходит через прямую, если ее следы проходят через одноименные следы прямой.

Прямые частного положения в плоскости

В каждой плоскости можно провести бесчисленное множество прямых линий частного положения.

Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций ₁. Она обладает всеми свойствами горизонтальной прямой: ее фронтальная проекция параллельна оси x, а на горизонтальную плоскость проекций она проецируется в истинную величину (рис. 39).

Если плоскость задана следами (рис. 39, б), то горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Фронталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x, а фронтальная проекция – есть ее истинная величина (рис. 40).

Фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости, в которой лежит данная фронталь. (рис. 40, б).

ЛИНИЯ НАИБОЛЬШЕГО СКАТА ПЛОСКОСТИ

Линия наибольшего ската – это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная следу или линиям частного положения плоскости (в нашем примере на рис. 41 – перпендикулярная горизонталям этой плоскости).

Из всех прямых, принадлежащих плоскости, линия наибольшего ската имеет самый большой угол наклона к соответствующей плоскости проекций (в нашем примере на рис. 41 – к горизонтальной плоскости проекций ₁), который называется

ПРЯМАЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТИ

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим пример: через точку К провести прямую, параллельную плоскости , заданной следами (рис. 42).

П роведем в плоскости  любую прямую, например, прямую MN (рис. 42, а). Затем через точку К параллельно MN проведем прямую АВ. Эта прямая будет параллельна плоскости , так как она параллельна прямой MN, лежащей в этой плоскости.

Рис. 42

Эту же задачу, можно решить другим способом, проведя через точку К прямую частного положения, например, горизонтальную прямую (рис. 42, б). Горизонтальная проекция горизонтальной прямой проходит через проекцию К и параллельна следу h_0.

Если плоскость задана не следами, а иным способом (двумя пересекающимися прямыми, двумя параллельными прямыми, плоской фигурой и т.д.), то через заданную точку также можно провести прямую, параллельную любой прямой, лежащей в заданной плоскости. В качестве такой прямой может быть выбрана одна из прямых,

которыми задана сама плоскость.

ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ

Точка лежит в плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.

П ример 5. Построить недостающую проекцию точки К, лежащей в заданной плоскости (плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС, а точка – только ее фронтальной проекцией К, рис. 44).

1. Через точку К проведем произвольную прямую 1-2, принадлежащую заданной плоскости:

К  12.

2. Построим горизонтальные проекции точек 1 и 2.

3. Через 1 и 2 проводим горизонтальную проекцию прямой 1-2.

4. В пересечении линии проекционной связи, проведенной из К и 1-2 находим горизонтальную проекцию точки К.

Е сли плоскость задана следами, то недостающая проекция точки, принадлежащей заданной плоскости, может быть найдена при помощи горизонтали (рис. 45, а) или фронтали (рис. 45, б) плоскости.