
- •2 Семестр.
- •Лектор: Сухинин м. Ф.
- •Канонические и нормальные системы оду. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.
- •Лемма Арцелы (критерий компактности).
- •Ломаные Эйлера и теорема Пеано.
- •Теорема о единственности решения задачи Коши для систем оду. Следствие для оду n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы.
- •Лемма о равномерной непрерывности.
- •Непрерывность решения системы оду по начальным данным и параметру.
- •2) , , : & Это следует из открытости множества, непрерывности в точке и условия . Выберем , .
- •Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского.
- •Фундаментальная система решений (фср) для линейной однородной системы оду. Существование фср и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.
- •Резольвента линейной системы оду и ее свойства.
- •Построение линейной, однородной системы по известной фср. Формула Лиувилля.
- •Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.
- •Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения
- •Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.
- •Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант.
- •Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.
- •Лемма Адамара.
- •Дифференцируемости решения системы оду по начальным данным и параметру.
- •Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.
- •Существование полной системы первых интегралов
- •Линейные однородные УрЧп первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы оду. Замечание о квазилинейных уравнениях.
- •Квазилинейные УрЧп первого порядка. Две леммы о характеристиках.
- •Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧп первого порядка в случае пространственных переменных.
- •По условию 4),
- •Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении.
- •Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства.
Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.
II случай:
(случай
не нормализуемой системы).
Заметим, что
+младшие
степени p.
Распишем:
столбцы линейно зависимы.
Можно считать после перенумерования,
что линейно зависимы первые k
столбцов
,
причем
,
;
.
Сделаем замену
неизвестных функций:
– можно
дифференцировать
раз
– можно
дифференцировать
раза
…
– можно
дифференцировать
раза
– можно
дифференцировать
раз
…
– можно
дифференцировать
раз.
При такой замене гладкость не изменилась. Обратная замена:
В матричной форме:
,
где
подставим в систему (1):
Здесь
.
Определитель не изменился.
Покажем, что порядок системы понизился,
то есть
.
Запишем i-е
уравнение новой системы:
,
итак, в новой системе
,
то есть порядок
системы понижен.
Если полученная система
оказалась нормализуемая, то для этой
новой системы гладкость решения
обоснована, а тогда она обоснована для
решения “старой” системы. Если же новая
система также не нормализуема, то
повторяем для нее предыдущие рассуждения.
Получим систему, в которой
,
а
.
За конечное
число шагов получим нормализуемую
систему (если
).
Замечание 1:
В общем решении
системы (1) произвольных постоянных
столько, какова степень
при
.
Пример:
нет констант.
Замечание 2:
Если
,
то система
может иметь бесконечно много решений,
а так же может не иметь ни одного решения.
Пример:
если
,
то
может быть
любой функцией класса
,
а
.
Если
,
то система не
имеет ни одного решения.
Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения
(1)
(рассмотрим только однородные системы)
,
.
Из алгебры известно, что
– матрица
,
,
так же, что
имеет жорданову
форму:
Сделаем замену неизвестных
функций
и подставим
в систему (1)
,
.
Система
распалась на несколько независимых
систем (их стало столько,
сколько жордановых клеток в матрице
B). Будем
исследовать одну клетку,
например
,
причем
пусть ее порядок
равен
максимальному порядку всех клеток,
отвечающих
.
Запишем
систему для данной клетки:
(2).
Положим
и подставим
в (2):
(3),
где
.
Итак, если матрица T
известна, то
общее решение системы (1) равно сумме
(для всех клеток) выражений типа (3).
Обычно матрицу T
трудно найти.
Для получения общего
решения системы (1) используем формулу
(3), где
– неизвестные
n-мерные
векторы.
Подставим y из (3) в (1):
(4).
Эта система похожа на систему
(2), то есть неизвестных
и уравнений
так же
.
В общем решении
этой системы
свободных
неизвестных, где
– кратность
корня
характеристического
уравнения
.
Если число
неизвестно,
то в системе (4) можно вместо
подставить
,
где
– число линейно
независимых собственных
векторов, отвечающих собственному
значению
.
Если же и
неизвестно,
то в системе (4) вместо
можно взять
.
При этом число
свободных неизвестных не изменится
и останется равным
.
Для построения
общего решения системы (1) нужно обозначить
эти свободные неизвестные через
,
затем аналогично
рассмотреть остальные
корни
кратностей
и сложить
выражения типа (3) для всех корней.