Лемма о равномерной непрерывности.

def: Метрическое пространство называется компактом, если из каждого покрытия его открытыми множествами (открытое покрытие) можно выделить конечное подпокрытие.

Лемма:

Пусть – метрические пространства, – метрический компакт, а – непрерывно на всем , тогда – непрерывно по и эта непрерывность равномерна по , то есть и , что , выполняется неравенство (то есть не зависит от k).

Доказательство:

◄ Выберем произвольно и . Надо найти . В силу непрерывности в точке имеем . Используя аксиому выбора можно считать, что задана функция на всем К. Заметим: , где – открытый шар в К, с центром в точке k, радиуса . В силу компактности К, имеем : . Положим , тогда , покажем, что это – искомое.

Пусть , , , тогда , , то есть . Имеем:

+ .

Так как:

– для первого слагаемого,

– для второго слагаемого. ►

Непрерывность решения системы оду по начальным данным и параметру.

Теорема:

Пусть – метрическое пространство, – открытое множество в , функция – непрерывна на , ограничена , удовлетворяет условию Липшица по у. Далее: пусть – решение задачи Коши: , при , и , определенное на . Тогда , что = ! решение задачи (1), (2), определенное на всем , причем – непрерывно по , и эта непрерывность равномерна по , то есть , , ,

Доказательство:

◄ 1) , , , .

Допустим, что это не так. Тогда , , , точка , .

По теореме Больцано-Вейерштрассе: . Заметим, что

,

так как непрерывна в точке . В этом случае , так как , определена по условию на всем , то есть и точку можно считать аргументом (то есть можно подставлять в уравнение (1)).

Поскольку определено на , то его можно подставить в (1) – имеет смысл . В силу открытости D, точка , при достаточно больших k, а это противоречит выбору точек .

2) , , : & Это следует из открытости множества, непрерывности в точке и условия . Выберем , .

Пусть , тогда точка в силу 2) и существует единственное решение задачи Коши (1), (2), определенное в окрестности точки h. Заметим так же, что определена в окрестности точки h (поскольку , D – открыто и – непрерывна в точке h).

Сделаем оценки:

= + , =

и вычитаем из одного другое:

+ + + + + +

(заметим, что определено при всех и ); непрерывна по , ; по лемме о равномерной непрерывности: при равномерно по , а тогда при )

(По замечанию к лемме Гронуолла)

(не зависит от x и при достаточно малых ).

Продолжим вплоть до границы трубки

В силу график продолженного решения выйдет на границу только при и .

Из первой части следует, что непрерывно по в точке , равномерно по . Проводя для те же рассуждения, что и для , получим, что непрерывно по , равномерно по в окрестности точки , а не только в самой точке . ►