12Метод Дихотомии
Пусть
требуется с заданной точностью
найти
корень
уравнения
вида:
.
Отрезок локализации
будем
считать заданным. Предположим, что
функция
непрерывна
на отрезке
и
на его концах принимает значения разных
знаков (рис. 2.1).
Для
первого приближения примем отрезок
локализации
равный
исходному
.
За приближенное значение корня выберем
середину отрезка:
.
Так как положение корня
на
отрезке
неизвестно,
остается утверждать, что погрешность
этого приближения не превышает половины
длины отрезка (рис. 2.1):
.
Уменьшить
погрешность приближения можно, уточняя
отрезок локализации, т. е. заменяя
начальный отрезок
отрезком
меньшей
длины.
Согласно
методу бисекции (половинного деления)
в качестве
берут
тот из отрезков
и
на
концах которого выполняется условие
.
Этот
отрезок и содержит искомый корень. Если
же
,
то корнем является один из концов
отрезка.
Середина
полученного отрезка
дает
приближение к корню, оценка погрешности
которого составляет:
.
За
очередное уточнение отрезка локализации
снова
берут тот из отрезков
и
на
концах которого выполняется условие
.
Середина n-го отрезка дает приближение к корню , имеющее оценку погрешности:
.
Неограниченное продолжение итерационного процесса дает последовательность отрезков содержащих искомый корень. Итерации следует вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство:
.
В
этом случае согласно оценке можно
принять
за
приближение к корню с точностью
.
Метод
бисекции сходится со скоростью
геометрической прогрессии, знаменатель
которой
.
По сравнению с другими методами метод
бисекции сходится довольно медленно.
Однако он очень прост и весьма
непритязателен; для его применения
достаточно, чтобы выполнялось неравенство
,
функция
была
непрерывна и верно определялся ее знак.
В тех ситуациях, где не нужна сверхвысокая
скорость сходимости (а это часто имеет
место при простых инженерных расчетах),
этот метод весьма привлекателен.
Метод хорд численного решения уравнений
Пусть , – два приближения корня уравнения . Проведем секущую через точки графика функции :
и абсциссу точки пересечения секущей с осью примем за новое приближение :
Задавая
,
,
приходим к вычислительному процессу,
который называется методом
секущих:
Выясним, как изменяется погрешность приближения в методе секущих. Пусть - корень уравнения , где – дважды дифференцируемая функция.
Обозначим
,
получим:
Применяя формулу Лагранжа, получим:
,
Здесь
–
наименьший промежуток, содержащий
указанные три точки.
На практике для получения начального приближения, отправляясь от середины промежутка , применяют метод диатомии до получения двух последовательных приближений , , не совпадающих с и и таких, что . Значения , принимаются за начальные приближения , метода секущих.
Число
необходимых итераций в методе секущих
определяется следующим образом:
Для
практической оценки погрешности
применим формулу Лагранжа, где при
малых погрешностях можно приближенно
положить:
Если получено значение , то приближенное значение корня с погрешностью равно: .