Статическая оптимизация портфеля
Пусть портфель инвестора состоит из бумаг в объемах , стоимость которых на рынке составляет . Тогда его суммарная стоимость
и доходность:
|
(21) |
где
Величины
представляют
собой доли капитала, вложенные в
соответствующие активы и очевидно
.
Задачу
выбора оптимальных пропорций активов
для инвестора, избегающего риска, можно
сформулировать, как выбор такого набора
,
что дисперсия доходности (21)(
риск ) будет минимальна. Посчитать
дисперсию (21)
довольно просто:
где
--
коэффициент ковариации между доходностями
-го
и
-го
активов.
Вводя
матрицу
,
дисперсию
можно
представить в виде квадратичной формы
зависящей от вектора
,
являющегося точкой стандартного
симплекса
|
(22) |
В зависимости от контекста вектор будет считаться либо строкой, либо столбцом с тем, чтобы соответствующие опреации имели смысл.
Однако, если, например, среди активов инвестора есть безрисковый ( банковский счет ), то для этого актива все коэффициенты ковариации равны нулю и задача минимизации при ограничениях (22) имеет тривиальное решение: необходимо все средства вкладывать в безрисковый актив. Это решение может давать ( как правило даст ) одновременно и наименьшую доходность, что может не устраивать потенциального инвестора. Г. Марковиц предложил дополнить условие минимума дисперсии требованием обеспечить желаемую доходность, что приводит к задаче
|
(23) |
где -- заданный уровень доходности портфеля.
Эта задача уже является проблемой квадратичного программирования, некоторые методы которого рассмотрены в Приложении.
Следует
отметить, что практическое использование
этого подхода требует знания ковариационной
матрицы
,
непосредственно не наблюдаемой. В
действительности она может заменяться
на эмпирическую ковариационную матрицу,
определенную на основе предыдущих
наблюдений и последовательно уточняемую
с течением времени. Все это превращает
(23)
в нетривиальную задачу совместной
идентификации ( определения
)
и оптимизации ( нахождения
).
Динамические рынки
Динамические модели финансовых рынков имеют особенно важное значение в финансовой математике. Именно эта область теории особенно важна для практики и именно здесь получены особенно глубокие и интересные результаты. В этом разделе приведены некоторые основные достижения финансовой математики: связь между отстутствием арбитража ( возможность получать безрисковую прибыль ) и сущестованием мартингализирующей меры, формулы для цен вторичных ценных бумаг, стратегии хеджирования, численные методы решения задачи определения цен производных ценных бумаг.
Subsections
Основные понятия и обозначения
Инструменты или активы
Торговые стратегии
Мартингалы и возможности арбитража
Совершенные рынки и цены опционов
Цены и хеджирование опционов
Цены и хеджирование европейского опциона
Цена американского опциона
Биномиальная модель. Мартингализирующая мера