Общая функция полезности

К тем же соотношениям, что и в предыдущем разделе, приводят рассуждения для произвольной квадратичной функции полезности ⁷инвестора.

Чтобы показать это, рассмотрим типичного инвестора с портфелем рискованных активов и банковским счетом ( безрисковым активом ). Пусть в -ый рискованный актив вложен капитал и его ( случайная ) доходность составляет . Стоимость банковского счета обозначим через , а его доходность ( гарантированную ) -- через .

В этих условиях текущая суммарная стоимость активов инвестора составляет , а его будущая стоимость представляет собой . Предположим, что инвестор оценивает возможные последствия своих действий с помощью функции полезности, квадратично зависящей от величины капитала:

(11)

Предполагается, что инвестор заинтересован в максимизации , т.е. вариант считается предпочтительней , если . Мы предполагаем специальную форму квадратичной зависимости (11), учитывая то, что

• функция должна быть вогнутой, для математической корректности задачи оптимизации,

• на результат сравнения и не сказываются прибавление к функции полезности постоянного слагаемого или ее масштабирование с помощью некоторой положительной константы.

При многократном повторенни ситуации инвестор может быть заинтересован в максимизации средней полезности, получаемой от будущих доходов:

Обсуждение этого сведения можно найти в Приложении.

Для простоты рассмотрим сначала случай одного рискового актива и одного инвестора. Считая начальный капитал инвестора заданным, оптимальное поведение инвестора определим как решение задачи

где и -- его капитал в акциях и банковском счете, соответственно, -- капитал инвестора в следующий момент времени. Доходность рискового актива предполагается случайной величиной, доходность безрискового банковского актива неслучайна и известна заранее.

Для того, чтобы решить эту задачу, необходимо составить функцию Лагранжа

где -- двойственная переменная, соответствующая бюджетному ограничению, и приравнять ее производные нулю:

или

(12)

Так как , то (12) сводится к

Легко проверить, что

Следовательно

или

(13)

Соотношение (13) справедливо для всех участников рынка, если предполагать их одинаково мотивированными, одинаково информированными и находящимися в однаковых экономических условиях. Поэтому, суммируя (13) по участникам, каждый из которых ассоциируется со своим , получаем

где и сумма берется по всем участникам. Стоимость всего рыночного запаса акций может быть представлена как стоимость всего рынка акций в предшествующий момент времени, увеличенная в соответствии с рыночной доходностью :

где -- переобозначение для . В результате получаем

Аддитивность приведенной стоимости

С точки зрения практических экономистов большое достоинство CAPM заключается в том, что при оценке портфелей ценных бумаг она ведет к аддитивности приведенных стоимостей активов, составляющих данный портфель.

Пусть портфель инвестора состоит из бумаг в объемах Тогда его суммарная стоимость

и доходность:

где

Очевидно Для рыночного портфеля

Рассмотрим, не умаляя общности, пакет, состоящий из двух ценных бумаг -- и . Доход от портфеля будет, очевидно, равен сумме доходов от отдельных акций:

Вводя коэффициенты доходности , относящиеся к доходности портфеля и отдельных активов и , это равенство можно представить в виде:

(14)

где -- приведенные стоимости акций и портфеля .

Дифференцируя по получаем

или

(15)

Теория CAPM дает

где -- рыночная премия за риск. Подставив эти соотношения в (14), получаем

Учитывая (15), получаем

или

что и требовалось доказать.