Биномиальный случай

Модель, в которой цена акции на каждых торгах может принимать лишь два значения, т.е. , была впервые рассмотрена в статье [16]. Мы будем дальше обозначать . Для этого случая задача ЛП принимает вид

(42)

(43)

Это условия самофинансирования для момента времени , и т.д. Для произвольного дискретного момента времени их можно записать в виде

(44)

в то время как хедж-условия имеют вид

(45)

Здесь -- значение функции выплаты при соответствующих ценовых ситуациях.

Число переменных в этой модели есть, очевидно,

Так как для каждого возможного мультииндекса мы имеем 2 ограничения (в виде равенства или неравенства), то легко видеть, что число ограничений также есть . Поэтому ясно, что соответствующий задаче линейного программирования выпуклый многогранник ( см. приложение ) имеет единственную крайнюю точку. Простой анализ показывает, что данная ЛП-задача не имеет неограниченного минимума. Таким образом, для решения задачи (44-47) следует решить систему (46-47), взяв все ограничения в виде равенств, и подставить соответствующие значения и в функцию (44).

Это может быть сделано, например, в виде следующей последовательности рассуждений. Если ввести обозначения для торговой стратегии, для текущих котировок и для стоимости портфеля, то условия самофинансирования могут быть записаны в виде

(46)

Лемма 17   Значения котировок в различные моменты времени связаны соотношениями

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Разлагая вектор-строку по векторам и

получаем для и систему

решение которой и доказывает лемму.

Лемма 18   Условия самофинансирования дают для биномиальной модели

Д о к а з а т е л ь с т в о. Опираясь на определение , лемму 20 и условия самофинансирования в форме (48), получаем цепочку равенств

Лемма 19   Начальный капитал может быть представлен в виде

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Из леммы 22 непосредственно следует окончательная

Теорема 20   Справедливая цена опциона для биномиальной модели CRR дается выражением

(47)

Для случая опциона купли (call-опцион) , где . Пусть - наименьшее целое, для которого . Тогда формула (49) принимает вид

где .

Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.

Предположим, что на каждых торгах цена акции может изменяться только в и раз ( ), и решим задачу о цене опциона в случае . Соответствующая задача ЛП имеет вид

(48)

			(49)

Здесь и т.д. -- значения функции выплаты при соответствующих ценовых ситуациях.

Для ее решения перейдем к двойственной задаче, которая выглядит следующим образом:

(50)

(51)

В дальнейшем будем использовать симплекс-метод. Чтобы определить начальный допустимый базис, воспользуемся ''методом искусственного базиса'' (см. например, [11]). Введем вспомогательные (так называемые ,,искусственные") переменные следующим образом:

(52)

Для системы (54) переменные и образуют допустимый базис. Если перевести эти переменные в небазисные, то они примут нулевые значения, и мы получим допустимый базис для системы (53). Для такого перевода можно использовать симплекс-метод. А именно, решим задачу минимизации функции при ограничениях (54) и

Указанная процедура приводит к следующему результату:

(53)

Взяв этот допустимый базис в качестве исходного и применяя симплекс-метод, легко видеть, что функция (50) достигает минимума, равного

если величина

неотрицательна. Интересно отметить, что это всегда так для call-опциона с функцией выплаты , как показывает несложный анализ. Для этого надо рассмотреть варианты соотношения величины и стомости акции в момент времени , ( например, , и т.д. ), и произвести простые алгебраические манипуляции.

Видно, что в этом случае добавление третьего состояния не дает ничего существенно нового для определения рациональной стоимости опциона: такой же результат дает биномиальная модель по формуле (49), если вообще не рассматривать возможность изменения цены акции в раз. На цену влияют лишь максимальный и минимальный коэффициенты.

Однако для других функций выплаты возможны и другие варианты: если , то стоимость опциона будет

Теперь игнорируется уже состояние, соответствующее росту акций в раз.