Биномиальная модель с точки зрения лп
В настоящем разделе показывается, что расчет цены опциона для рынка с дискретным временем может быть проведен с помощью линейного программирования (ЛП). Такая формулировка задачи имеет многочисленные достоинства, поскольку линейное программирование достаточно хорошо апробировано на практике, а имеющееся программное обеспечение позволяет надежно решать задачи с тысячами ограничений [7]. На этом пути также возможно естественное обобщение биномиальной модели, а именно: можно рассмотреть модель, в которой цена акции на каждом этапе может изменяться по более чем двум вариантам. Ниже приводится постановка задачи ЛП для определения цены опциона и хеджирующей стратегии в полиномиальном случае, а также ее аналитическое (хотя и негладкое) решение для простейшего случая -- когда количество возможных состояний равно трем, а количество шагов по времени -- одному.
Subsections
Основные обозначения и постановка задачи
Биномиальный случай
Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.
Основные обозначения и постановка задачи
Рассмотрим следующую модель изменения цен акций. Предположим, что цена акции может меняться лишь в моменты времени
cледующим образом:
где
-
последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин,
принимающих
значений
с
некоторыми вероятностями. Мы увидим,
что как и в биномиальном случае [16],
эти вероятности в конечный ответ для
цены опциона не входят!
Пусть банковский счет растет по формуле сложных процентов:
Пусть
инвестор, оперирующий на этом
-
рынке, в момент времени
обладает
начальным капиталом
.
Он может вложить некоторую его часть,
,
в акции, а оставшуюся,
,
поместить на банковский счет или вложить
в «безрисковые» облигации:
Можно
поставить следующую инвестиционную
задачу: не привлекая дополнительных
источников финансирования, довести в
момент времени
стоимость
портфеля до величины не меньшей, чем
заданная функция
.
( Ее называют функцией выплаты ).
Достичь этого инвестор может путем
диверсификации портфеля: после того,
как цена акции изменилась, он принимает
решение о возможных изменениях значениий
и
.
Все
варианты цен акций можно наглядно
представить в виде полиномиального
дерева ( на рисунке 4.1.1
оно показано для случая, когда число
вариантов изменения цен
,
а число шагов по времени
).
Каждому узлу дерева сопоставляется
мультииндекс
,
если цена акции для этого узла есть
.
Таким образом, индекс
показывает
число случаев, в которых цена акции
изменялась в
раз
( до данного момента времени ).
Отметим, что данный момент времени, в
который происходит изменение цен акций,
равен
--
суммарному степенному показателю.
|
Figure: Пример полиномиального дерева. |
Итак,
пусть в момент времени
инвестор
находится в каком-то узле и принимает
решение о диверсификации портфеля.
Тогда условия самофинансируемости
могут быть представлены в виде следующих
равенств:
|
|
|
|
|
|
|
(39) |
|
|
|
|
Здесь
в правых и левых частях равенств стоят
величины капиталов соответственно до
и после принятия решения в момент времени
.
Величина капитала при этом не меняется,
меняется лишь его доля, вкладываемая в
различные ценные бумаги ( отсюда и
название «условия самофинансируемости» ).
Через
и
обозначены
доли капитала, вложенные в акции и
облигации соответственно. Мы будем
полагать также, что
и
.
Предположим
теперь для простоты, что функция выплаты
зависит
лишь от стоимости акции
в
момент времени
(это
так, например, для весьма распространенного
call - опциона с
).
Тогда для выполнения инвестиционной
задачи должны удовлетворяться следующие
неравенства (хедж-условия):
|
(40) |
где
.
Число
этих условий-неравенств совпадает,
очевидно, с числом разбиений числа
в
упорядоченную сумму
неотрицательных
слагаемых, а это число, как известно из
комбинаторики, равно
.
Если функция выплаты зависит от цены
акции в более ранние моменты времени,
то число хедж-условий должно быть
увеличено очевидным образом.
Естественно постараться выполнить условия (41) и (42) при наименьшем начальном капитале . Подобная задача связана и с определением рациональной стоимости опциона европейского типа (см., например, обзор [12]).
Все вышесказанное делает естественным следующее.
Определение 16 Рациональная стоимость опциона в полиномиальной модели может быть определена как решение задачи минимизации функционала
|
(41) |
при ограничениях, накладываемых условиями (41) и (42).
Поскольку функционал и условия являются линейными, то это задача линейного программирования.