Биномиальная модель. Мартингализирующая мера
Существует одна
модель, для которой удалось полностью
решить задачу оптимального хеджа
европейского опциона и явным образом
определить мартингализирующую меру
.
В этой модели рассматривается всего
лишь один рисковый инструмент, цена
которого в момент
равна
и
безрисковый инструмент с доходностью
за
единицу времени. Сохраняя обозначение
предыдущих разделов, положим
Предполагается,
что рисковый инструмент ведет себя
следующим образом: между двумя
последовательными периодами времени
относительное изменение цен равно либо
,
либо
,
где
:
Начальная цена акций задана.
Множество
возможных состояний или, иначе говоря,
множество элементарных исходов в этой
модели представляет собой множество
последовательностей
,
где каждая из
равна
либо
либо
.
Переменные
представляют
собой отношения цен в последовательные
моменты времени:
Структура
событий в этой модели может быть задана
-алгебрами,
порождаемыми случайными величинами
Мы
будем считать, что
и
.
Задание вероятностной меры
эквивалентно
заданию вероятностей различных
последовательностей
.
Нам не потребуется делать какие-либо
предположения о вероятностной мере
,
за исключеннием того, что в каждый момент
времени существует ненулевая вероятность
обоих исходов.
Как мы показали ранее, для построения хеджирующей стратегии европейского опциона и определения его цены необходимо найти риск-нейтральную вероятностную меру , обращающую дисконтированную цену рискового актива в мартингал. В нашем случае свойство мартингальности сводится к равенству
Так как
то
это равнство можно переписать в виде
Учитывая то, что принимает всего два значения, и , получаем
|
(38) |
Добавляя к (40) условие нормировки
получаем простейшую
систему линейных уравнений для определения
и
,
решение которой
Положительность
и
требует,
чтобы для доходности
безрисковой
бумаги выполнялись неравенства
что имеет вполне прозрачный экономический смысл.
При
есть
возможность, взяв безрисковый кредит,
получить, ничем не рискуя, чистую прибыль
с положительной вероятностью. При
надо
продать не принадлежащую вам акцию и
вложить эти деньги в безрисковый
инструмент.
Из
того, что вероятности
и
не
зависят от
следует,
что
являются
относительно меры
независимыми
случайными величинами, принимающими
значения
и
с
вероятностями
и
соответственно.
Остается добавить, что так как
мартингализирующая мера в этом случае
единственная, то, согласно теореме 17,
рынок является нормальным и совершенным.
Численные методы финансовой математики
Аналитическое решение задачи нахождения равновесных цен произвожных ценных бумаг возможно лишь в исключительных случаях. Вдобавок эти случаи слишком просты, чтобы представлять действительный интерес для практиков.
Отчасти этим можно обьяснить то разнообразие эвристических приемов, которые используют практики для хеджироания рисковых активов и то разнообразие ситуаций, которое видят в колебаниях биржевых котировок специалисты по техническому анализу: ''свечи'', ''головы'', ''плечи'', ''волны Элиота'' и т.п..
В последнее время ситуация все же изменяется в сторону большего применения методов математического моделирования, использования численных методов, компьютерный анализ рынков. При этом используется все более сложный математический и вычислительный аппарат: методы теории уравнений в частных производных, теория вариационных неравенств, линейное и нелинейное программирование, оптимальное управление и др. Сколько-нибудь подробное изложение хотя бы основных методик выходит зп рамки целей этого пособия и мы ограничимся изложением применения одного из наиболее практических способов решения задачи вычисления цены опциона -- линейного программирования (ЛП).
На этом пути также возможно естественное обобщение биномиальной модели: а именно, в полиномиальном случае цена акции может на каждом этапе принимать более чем два значения. Ниже приводится постановка задачи ЛП для определения цены опциона и хеджирующей стратегии в полиномиальном случае, а также ее аналитическое (хотя и негладкое) решение для простейшего случая -- когда количество возможных состояний равно трем, а количество шагов по времени -- одному.
Subsections
Биномиальная модель с точки зрения ЛП
Основные обозначения и постановка задачи
Биномиальный случай
Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.