Цены и хеджирование опционов

В этом разделе рассмотрены вопросы определения конкурентных цен европейского и американского опционов. Попутно будут найдены допустимые торговые стратегии, гарантирующие для эмитента опциона возможность выплаты опционной премии.

На протяжении этого раздела предполагается, что рынок является нормальным и совершенным. Обозначим через единственную вероятностную меру, относительно которой дисконтированные цены финансовых инструментов являются мартингалами.

Subsections

Цены и хеджирование европейского опциона
Цена американского опциона
Биномиальная модель. Мартингализирующая мера

Цены и хеджирование европейского опциона

По определению, европейский опцион определяется своей функцией выплат . Пусть -- измеримая относительно неотрицательная случайная величина (заявка) и - допустимая стратегия, воспроизводящая эту заявку, то есть

Последовательность является -мартингалом и, следовательно,

и вообще

(36)

В любой момент времени значение допустимой стратегии, воспроизводящей , полностью определяется . Представляется естественным назвать ценой опциона: это капитал, который необходимо иметь в момент , для того, чтобы в момент воспроизвести , используя стратегию . Заметим, однако, что такое определение цены опциона не дает никакой прибыли эмитенту опциона: свой портфель, имеющийся у него к моменту исполнения опциона, он должен полностью реализовать, чтобы произвети выплату. Такая цена является, следовательно, скорее нижней гранью возможных рыночных цен опционов, ниже которой эмитенту просто небезопасно опускаться.

Если в момент инвестор продает опцион за то он может использовать стратегию воспроизводящую для того, чтобы в момент гарантироватьенерировать выплату . Такая процедура называется хеджированием (hedging), от английского hedge -- страховаться, обезопасить себя. Другими словами, при использовании стратегии инвестор идеально хеджирован. Какова бы не была ситуация на рынке ( ), он в состоянии выплатить владельцу опциона причитающуюся ему .

Кроме этого, вычисление цены опциона требует определения лишь и не зависит от ''настоящей'' . При этом, как показано в разделе 3.3, построение требует лишь знания множества элементарных исходов или, точнее, сценариев возможных изменений цен рисковых активов. Анализ модели Кокса-Росса-Рубинштейна (КРР), рассмотренный в следующем разделе, покажет, как мы можем на практике вычислить цену опциона и хеджирующую стратегию.

Цена американского опциона

Так как американский опцион может быть исполнен в любое время между и , мы определим его как последовательность неотрицательных случайных величин (выплат), адаптированную к . Случайная величина -- это немедленная прибыль владельца опциона, получаемая от исполнения опциона в момент времени . В случае американского call-опциона на акции стоимостью с ценой исполнения функция выплат ; в случае put-опциона -- .

Справедливую цену опциона , ассоциированную с выплатами можно получить, используя метод индукции в обратном времени, начиная с момента .

Действительно, стоимость опциона в момент окончания его действия, очевидно, совпадает с . По какой цене опцион следует продавать в момент ?

Если держатель опциона исполняет его в этот момент времент, он получает . Если он откладывает его исполнение до момента , то выпустивший опцион должен быть готов заплатить ему . Поэтому в момент времени эмитент должен иметь возможность заработать капитал, представляющий собой максимум из и суммой, которую необходимо иметь в момент времени , чтобы получить в момент .

Другими словами, чтобы быть готовым к любым вариантам развития событий в будущем, в момент эмитент должен получить от продажи опциона сумму, равную максимуму из и значения в момент допустимой стратегии, дающей в момент выплату т.е. с .