Основные понятия и обозначения

Финансовая математика развивается в последнее время быстрыми темпами, причем наблюдается тенденция к усложнению используемого в этой области математического аппарата. Если в послевоенные годы использование математики в экономике ограничивалось в основном методами оптимизации (главным образом линейной и квадратичной), то теперь стало модно использовать понятия стохастических процессов: теорию мартингалов и правил остановки. Это направление берет свое начало со знаменитых работ [15,19], за которые М. Шоулс и Р. Мертон получили в 1997 году Нобелевскую премию по экономике. В статьях [15,19] исследовался вопрос о справедливой цене опциона и хеджирующей стратегии. При этом время предполагалось непрерывным и использовался аппарат стохастических дифференциальных уравнений.

В 1976 году Кокс, Росс и Рубинштейн предложили биномиальную модель рынка ценных бумаг с дискретным временем [16]. В этом случае оказалось возможным обойтись без использования сложного математического аппарата, причем формула Блэка-Шоулса для цены опциона получалась с помощью предельного перехода (он аналогичен переходу от биномиального распределения к нормальному в теории вероятностей). Впоследствии эта модель послужила предметом большого числа исследований, в которых рассматривались различные обобщения модели Кокса-Росса-Рубинштейна (CRR).

В данной главе рассамтривается математическая теория некоторых финансовых инструментов в дискретном времени. Моделирование финансовых рынков в случае дискретного времени позволило получить достаточно завершенную математическую теорию финансовых инструментов, отвечающую на основные вопросы, интересующие как рыночных аналитиков, так и практиков. Несмотря на известную условность, эта теория описывает механизмы ценообразования на рынке, определяет оптимальные торговые стратегии, проясняет какими факторами определяются цены основных и производных инструментов.

Основным рабочим аппаратом этой теории является теория вероятностей и теория экстремальных задач. В качестве подходящего инструктивного материала по теории вероятностей можно рекомендовать [8]. Тем не менее для удобства читателей в дополнении приведены основные сведения из теории вероятностей, использованые в настоящей работе.

Финансовая модель с дискретным временем строится на конечном вероятностном пространстве , снабженном фильтрацией, т.е. возрастающей последовательностью -алгебр , содержащихся в . Алгебру можно рассматривать как информацию, имеющуюся в наличии в момент и ее часто называют -алгеброй событий, состоявшихся вплоть до момента . Множество всех возможных событий (множество всех подмножеств) обозначим через

Для удобства обозначений можно рассматривать также и . Далее мы будем предполагать, что и для любого , что влечет за собой конечность .

В моделях с дискретным временем часто рассматриваются последовательности различных величин, когда индекс последовательности пробегает множество . Такую последовательность мы будем сокращенно обозначать . В частности упомянутая выше последовательность -алгебр может быть обозначена как .