Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений.

Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Те неизвестных, коэффициенты при которых входят в запись базисного минора, называются базисными (или основными), остальные неизвестных называются свободными (или неосновными).

Решить систему уравнений в случае - это значит выразить базисные переменные через свободные. При этом имеем общее решение системы уравнений. Если все свободные переменные равны нулю, то решение системы называется базисным (дальше жопный Гаусс из 5 вопроса).

8. Геометрические векторы. Линейные операции с векторами. Базис и координаты вектора, заданного базисом

Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе).

Векторы могут обозначаться как 2-мя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой.

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.

Если начало и конец вектора совпадают ( ), то такой вектор называется нулевым и обозначается = . Длина нулевого вектора равна нулю: = 0.

1. Произведением вектора на число :

Будет вектор, имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

2. Противоположным вектором - называется произведение вектора - на число (-1), т.е. - = .

3. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора , при условии, что начало совпадает с концом . (правило треугольников). Аналогично определяется сумма нескольких векторов.

Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора - , противоположного .

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1) - коммутативное (переместительное) свойство суммы;

2) - ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;

3) - ассоциативное относительно числового множителя свойство;

4) - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;

5) - дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;

6) Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

7) Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что ;

8) для любого вектора (особая роль числового множителя 1).

Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства и обозначается .

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.

9. Скалярное произведение векторов и его свойства (длина вектора, угол между векторами)

Скалярным произведение двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Также эта формула имеет другой вид:

,

т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Свойства:

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0 b, то а  b

Длина вектора.

Угол между векторами.

Определение угла φ между ненулевыми векторами а = (a_x; a_y; a_z) и b=( b_х; b_у; b_г):

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и b:

10. Векторное произведение векторов и его свойства

Векторное произведение векторов   и   - вектор, обозначаемый     или   для которого:

1.  (  - угол между векторами   и  ,  );

2. 

3. тройка  ,  ,   - правая.

Свойства векторного произведения.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. если  , то   равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах   и  .

11. Смешанное произведение векторов. Применение для проверки зависимости системы векторов

Определение: 

Свойства смешанного произведения.

1. 

2. 

3. 

4.  - компланарны.

Если V - объем параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах  ,   и  , то   если тройка   правая, и   если тройка левая.

12. Различные формы уравнения плоскости

В трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается линейным уравнением Ax + By + Cz + D = 0, A² + B² + C² ≠ 0.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

Вектор N = (A, B, C) = A·i + B·j + C·k — нормальный вектор плосокости, он перпендикулярен любой прямой, принадлежащей плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀,y₀,z₀) перпендикулярно вектору N = (A, B, C) имеет вид A(x −x₀)+ B(y −y₀) + C(z −z₀) = 0. Это уравнение называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором.

Виды уравнений плоскости в пространстве.

Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение Ax + By + Cz + D = 0 называют неполным.

Виды неполных уравнений.

1)       D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2)       А = 0 – n = {0,B,C} Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3)       В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4)       С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5)       А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6)       А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7)       B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8)       А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9)       B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10)    C = D = 0 -  плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11)    A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12)    A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.

13)    B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным (то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:

называемому уравнением плоскости в отрезках.

Нормальное уравнение плоскости  где   - углы, образуемые нормальным вектором плоскости с осями координат; p - расстояние от начала координат до плоскости.

     Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду:

Здесь   - нормирующий множитель плоскости, знак которого выбирается противоположным знакуD, если   произвольно, если D = 0.

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору  В векторном виде

В координатах

Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам  В векторном виде

В координатах

Параметрические уравнения плоскости  В векторном виде

В координатах

Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые   и   

Если прямые заданы соответственно уравнениями:

   и   

то уравнение плоскости есть

Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые   и     или 

Если  , то уравнение плоскости есть

13. Типичные задачи для плоскости (уравнение плоскости через 3 точки, расстояние от точки до плоскости, геометрический смысл)

Уравнение плоскости по трем точкам  В векторном виде

В координатах

или

Расстояние от точки до плоскости 

14. Взаимное расположение плоскостей (когда перпендикулярны, параллельны, что такое угол между плоскостями)

Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельны, в частном случае совпадать друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют  собой частный случай пересекающихся плоскостей.

Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.

Теорема 1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.