50. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Объем тела вращения.

Рассмотрим в прямоугольной системе координат Oxy некоторое кубируемое тело F , расположенное между плоскостями x = a и x = b так, что при любом x∈[a,b] сечение данного тела плоскостью, проходящей через точку (x;0;0) перпендикулярно оси Ox , непусто и квадрируемо, причём известна площадь S(x) этого сечения.

С помощью интегралов можно найти объем любого тела. Найдем объем тела вращения. Пусть имеем функцию , которая определена на и предположим, что она непрерывная функция.

рис.1

Определение. Телом вращения называется, тело, полученное при вращении вокруг оси (рис.1).

Теорема. Объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой, определяемой уравнением , осью и прямыми и , находится по формуле

.

Доказательство: Разобьем отрезок произвольным образом: и обозначим через , . Тогда если рассмотреть цилиндры высотой и радиусами и , то . Если диаметр дробления устремить к нулю, то эти суммы, которые являются интегральными суммами для функции , имеют одинаковый предел и он равняется . Следовательно, объем тела вращения равен:

.

Пример. Вычислить объем шара.

Шар получается вращением полуокружности вокруг оси , тогда .

Аналогичным образом вычисляется объем конуса, цилиндра и т.д.

Если известна площадь поперечного сечения тела, то его объем

,

где абсциссы и отвечают крайним сечениям.

Площадь поверхности тела вращения определяется по формуле

.

Экономический смысл определенного интеграла. Пусть функция описывает изменение производительности некоторой продукции в зависимости от времени. Поставим задачу: найти объем продукции , выпускаемой за промежуток времени . Для этого разобьем отрезок на промежутки времени . Тогда, для величины объема продукции , выпускаемой за промежуток времени , имеем , тогда весь объем будет

Так как получили интегральную сумму для функции , то при стремлении , имеем

.

51. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически и в прямоугольных координатах.

5. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

При вычислении длины кривой линии может быть использована та же методика, что и при вычислении площадей криволинейных трапеций, то есть кривую разбивают на такие малые участки, длину которых можно посчитать геометрическими методами.

Определение. Длиной дуги кривой линии называют предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной линии при неограниченном увеличении числа ее звеньев и при стремлении длины наибольшего звена к нулю.

Итак, пусть кривая линия описывается функцией на отрезке . При этом пусть непрерывна на этом отрезке вместе со своей производной . Разобьем кривую на частичных дуг точками . Соединив начало и конец каждой частичной дуги хордой, получим в результате вписанную ломаную линию, длина которой равна сумме длин ее звеньев:

.

Обозначим: , ,…, ,…, . Кроме того, , ,…, ,…, . В таком случае можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника и поэтому

.

Согласно теореме Лагранжа о среднем

, где ,

следовательно,

.

Отсюда длина ломаной линии равна

.

Переходя к пределу в данной интегральной сумме, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю, получаем длину кривой линии в прямоугольной системе координат:

.

Данный интеграл существует, поскольку по условию производная непрерывна.

Из полученной формулы можно получить выражение для дифференциала дуги, которое используется как в математике, так и в некоторых задачах теоретической механики. Пусть положение правого конца кривой линии является переменной величиной, тогда ее длина будет функцией точки, в которой она заканчивается, то есть

.

Возьмем производную данного интеграла по переменному верхнему пределу (п. 1.):

.

Отсюда следует, что .