Задача о потоках в сетях.

Функция (x), определенная на множестве Х транспортной сети D и принимающая целочисленные значения, называется допустимым потоком (или просто потоком) в транспортной сети D, если :

1) для любой дуги xX величина (x), называемая потоком по дуге x, удовлетворяет условию ,

2) для любой промежуточной вершины  сумма потоков по дугам, заходящим в  равна сумме потоков по дугам, исходящим из .

Транспортной сетью называется орграф D=(V,X) с множеством врешин V={₁,…,_n} для которого выполняются условия:

1) существует одна и только одна вершина ₁ называемая источником, таая, что D^-1(₁)= (т.е. ни одна дуга не заходит в ₁);

2) существует одна и только одна вершина _n, называемая стоком, такая, что D(_n)= (т.е. из _n не исходит ни одной дуги);

3) каждой дуге xX поставлено в соответствии целое число , называемое пропускной способностью дуги.

Величиной потока  в транспортной сети D называется величина , равная сумме потоков по всем дугам, заходящим в _n, или, что то же самое, - величина, равная сумме потоков по всем дугам, исходящим из ₁.

Пусть  - допустимый поток в транспортной сети D. Дуга xX называется насыщенной, если поток по ней равен ее пропускной способности, (x)=c(x). Поток  называется полным, если любой путь в D из ₁ в _n содержит, по крайней мере, одну насыщенную дугу.

Поток  называется максимальным, если его величина принимает максимальное значение по сравнению с другими допустимыми потоками в транспортной сети D. Максимальный поток обязательно является полным.

Алгоритм построения полного потока:

Теорема Форда - Фалкерсона. Величина максимального потока равна пропускной способности минимального разреза.

Алгоритм нахождения максимального потока в сети:

1. Рисуем граф, совпадающий с исходным (граф приращений). На исходном графе пускаем нулевой поток.

2. Находим на графе приращений путь из начальной точки в конечную.

3. Если такого пути нет, то указанный на исходном графе поток является максимальным.

4. По найденному пути пропускаем максимально возможный поток, как на исходном графе, так и на графе приращений. На графе приращений на прямых дугах величину потока отнимаем, на обратных - прибавляем (обратные дуги при, необходимости добавляются искуственно). Идем к пункту 2.

Теорема Форда - Фалкерсона. Пусть D - транспортная сеть,  - допустимый поток в этой сети V₁ - множество вершин V таких, что длина минимального пути из  в _n в орграфе приращений равна нулю. Тогда, если ₁V₁, то  - максимальный поток, величина которого равна .

Для заданной транспортной седи D и допустимого потока  в этой сети орграф приращений I(D,) имеет те же вершины, что и сеть D. Каждой дуге x=(,)X транспортной сети D в орграфе приращений I(D,) соответствуют две дуги: x и x'=(,) - дуга, противоположная по направлению дуге x.

Припишем дугам x=(,)X, x'=(,) орграфа приращений I(D,) длину l:

то есть орграф I(D,) является нагруженным.