Самосопряжённые операторы

Линейный оператор B называется сопряжённым к оператору , если для . Обозначение: .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Линейный оператор называется самосопряжённым, если .

Теорема о матрице сопряжённого оператора: Если A – матрица оператора C в ортонормированном базисе, то – матрица оператора в том же базисе.

Пусть – матрица оператора C и – матрица оператора в ортонормированном базисе . Из определения сопряжённого оператора следует, что . Тогда и для .

1. Матрица самосопряжённого оператора в любом ортонормированном базисе симметричная.

2. Собственные векторы самосопряжённого оператора, отвечающие различным собственным числам ортогональны.

Пусть – собственные числа и и – отвечающие им собственные векторы самосопряжённого оператора A. Тогда . При этом , а .

Если A – самосопряжённый оператор, то в существует ортонормированный базис из собственных векторов оператора A.

Квадратичные формы

Линейные формы

Говорят, что в задана линейная форма (линейный функционал) , если каждому из поставлено в соответствие число так, что выполняются два условия:

1. для из .

2. для из .

Если – линейная форма в , то существуют числа , где – координаты для в фиксированном базисе.

Пусть в выбран базис . Тогда может быть представлен в виде и , где .

Если в задан ортонормированный базис, то любую линейную форму модно представить в виде , где .

Билинейные формы

Говорят, что в задана билинейная форма , если каждой паре векторов и поставлено в соответствие число :

1. – линейная форма, зависящая от при фиксированном .

2. – линейная форма, зависящая от при фиксированном .

Теорема о матрице билинейной формы: Если в задана билинейная форма , то существуют числа , где , где – координаты – координаты в фиксированном базисе.

Из условия теоремы следует, что , где – фиксированный базис. Тогда .

Матрица называется матрицей билинейной формы.

Ранг матрицы билинейной формы называют рангом билинейной формы.

Билинейную форму модно записать в виде , где .

Теорема о связи матриц билинейной формы в разных базисах: Если – матрица билинейной формы в базисе , а – матрица билинейной формы в базисе , то , где C – матрица перехода от базиса к базису .

Пусть в базисе в базисе . Тогда билинейная форма . Кроме того, .

Билинейная форма называется симметричной, если .

Матрица симметричной билинейной формы симметрична (т.к. ).

Квадратичная форма

Говорят, что в задана квадратичная форма , если каждому из поставлено в соответствие число , где – симметричная билинейная форма.

Симметричная билинейная форма, по которой построена квадратичная форма, называется полярной билинейной формой по отношению к квадратичной форме.

По заданной квадратичной форме можно восстановить полярную билинейную к ней форму.

Пусть – квадратичная форма. Тогда , откуда .

Матрица билинейной формы, полярной по отношению к данной квадратичной форме, называется матрицей квадратичной формы.

1. Матрица квадратичной формы в любом базисе симметрична.

2. Пусть A – матрица квадратичной формы в базисе . Тогда и , где f – билинейная форма, полярная данной квадратичной.

3. Пусть – матрица квадратичной формы в базисе . Тогда , где C – матрица перехода из базиса в базис .