Линейные пространства.

Линейным пространством называется множество L элементов любой природы, если для элементов этого множества выполняются одно условие и восемь аксиом:

Условие: для и определена операция сложения, т.е. задано правило, по которому любым и ставится в соответствие элемент , где символ «+» – только обозначение, и для и любого числа  определена операция умножения , т.е. задано правило, по которому каждому и  ставится в соответствие элемент .

Аксиомы:

1. для .

2. для .

3. Во множестве L (нулевой (нейтральный) элемент): для .

4. Для (противоположный элемент): .

5. для .

6. для  и  - числа.

7. для и и любого числа .

8. для ,  и  - числа.

Если данное множество является линейным пространством, то его элементы называются векторами.

Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейных пространств.

Система векторов называется линейно независимой, если хотя бы один из этих векторов можно выразить через остальные, т.е. .

Необходимо и достаточное условие линейной зависимости: Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы существовали числа , не все равные 0 и такие, что .

1. Пусть система линейно зависима. Тогда , причём .

2. Пусть , не все равны 0 и такие, что . Пусть для определённости . Тогда , следовательно, система линейно независима.

Если среди содержится , то система векторов линейно зависима.

Если среди k векторов имеется m линейно зависимых , то и вся система векторов линейно зависима.

Необходимое и достаточное условие линейной независимости: Для того чтобы система векторов были линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы равенство только при для .

Если k векторов линейно независимы, то и любые m из них также линейно независимы.

Размерность линейного пространства равна количеству базисных векторов. Обозначение: . Здесь n – размерность.

Базисом в линейном пространстве называют систему векторов, если она удовлетворяет двум условиям:

1. Система линейно независимая.

2. Любой вектор пространства может быть линейно выражен через векторы этой системы.

Если в линейном пространстве имеется базис, состоящий из n векторов, то и любой другой базис также содержит n векторов.

Линейное пространство, в котором базис состоит из конечного числа векторов, называется конечномерным.

Число векторов в базисе называется размерностью линейного пространства. Обозначение: – линейное пространство размерностью n.

Если в пространстве выбран базис, то любой вектор этого пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов единственным образом.

Предположим, что в базисе вектор может быть представлен двумя способами: и . Вычтем второе уравнение из первого: . Т.к. здесь , то – линейно зависимы, что противоречит условию.

Пусть . Тогда

1. Любые m векторов (m > n) будут линейно зависимыми.

2. Любые n линейно независимых векторов образуют базис.

Пусть в пространстве выбран базис и пусть – разложение произвольного по этому базису. Тогда коэффициенты называют координатами в базисе .

Пусть в выбраны два базиса: и . Назовём первый базис «старым», а второй – «новым». Выразим базисные векторы нового базиса через старый: . Матрица ­– матрица перехода от базиса к базису .

Теорема о замене базиса: Пусть – произвольный вектор и – координаты в базисе – координаты в базисе . Тогда , где T – матрица перехода от базиса к базису .

Разложим по базисам и : , где – j-я координата в базисе .