7.4.2. Вычисление производных на основании многочлена Лагранжа
Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа L(x) и его остаточный член RL(x) для случая трех узлов интерполяции (n = 2), но с учетом, что xi – xi–1 = h = const (i = 1, 2, ..., n):
L(x)
=
[(x
– x1)(x
– x2)y0
– 2(x –
x0)(x
– x2)y1
+ (x –
x0)(x
– x1)y2];
RL(x)
=
(x
– x0)(x
– x1)(x
– x2).
Найдем их производные:
[(2x
– x1
– x2)y0
– 2(2x –
x0
– x2)y1
+ (2x –
x0
– x1)y2];
[(x
– x1)(x
– x2)
+ (x –
x0)(x
– x2)
+ (x –
x0)(x
– x1)],
где
– значение производной в некоторой
внутренней точке x
[x0,
xn].
Запишем выражение для производной
при х = x0:
[(2x0
– x1
– x2)y0
– 2(2x0
– x0
– x2)y1
+
+ (2x0 – x0 – x1)y2] + [(x0 – x1)(x0 – x2) + (x0 – x0)(x0 – x2) + (x0 – x0)(x0 – x1)] =
=
(–
3y0 + 4y1
– y2) +
.
Аналогично можно получить значения
,
при х = x1,
х = x2.
Итак, для случая трех узлов (n = 2) рабочие формулы имеют следующий вид:
(7.14)
В справочных пособиях приведены формулы Лагранжа для n = 3, 4, … . Так, для случая четырех узлов (n = 3):
(7.15)
Проанализировав (7.14) и (7.15), можно утверждать, что, используя значения функции в (n + 1) узлах, получают аппроксимацию n-го порядка точности для производной. Эти формулы можно использовать не только для узлов x0, x1, x2, …, но и для любых узлов x = xi, xi+1, xi+2, … с соответствующей заменой индексов в (7.14) и (7.15). С помощью многочлена Лагранжа получены аппроксимации и для старших производных.
Таким образом, при n = 3:
и
т. д.
Аналогичные формулы можно получить и для случая произвольной сетки расположения узлов. Однако в этом случае имеют место неизбежные громоздкие выражения для расчетов производных.
При необходимости таких расчетов целесообразнее применять искусственный прием, так называемый метод неопределенных коэффициентов.
7.5. Метод неопределенных коэффициентов
Данный метод в основном используется
для случая произвольного расположения
интерполяционных узлов. Искомое выражение
k-й производной в
некоторой точке x
= xi
представляется в виде линейной комбинации
заданных значений функции yj
= f(xj)
в узлах
:
,
.
(7.16)
Предполагается, что это соотношение выполняется точно, если y = f(x) является многочленом степени не выше n, т. е. если она может быть представлена в виде
.
Отсюда следует, что соотношение (7.16) должно выполняться точно для многочленов y = 1, y = x – xj, y = (x – xj)2, y = (x – xj)n. Производные от них соответственно равны
y' = 0; y' = 1; y' = 2(x – xj), …, y' = n(x – xj)n–1.
Подставляя эти выражения в левую и правую части (7.16), получают систему линейных алгебраических уравнений (n + 1)-го порядка для вычисления значений c0, c1,…, cn.
Пример 7.3. Найти выражение для производной в случае четырех узлов (n = 3), h = const. Запишем (7.16) в виде
.
Используем многочлены:
y = 1; y = x – x0; y = (x – x0)2; y = (x – x0)3 ; (7.17)
y' = 0; y' = 1; y' = 2(x – x0); y' = 3(x – x0)2. (7.18)
Подставим (7.17) и (7.18) в искомое уравнение при x = x1:
0 = c01 + c11 + c21 + c31;
1 = c0(x0 – x0) + c1(x1 – x0) + c2(x2 – x0) + c3(x3 – x0);
2(x1 – x0) = c0(x0 – x0)2 + c1(x1 – x0)2 + c2(x2 – x0)2 + c3(x3 – x0)2;
3(x1 – x0)2 = c0(x0 – x0)3 + c1(x1 – x0)3 + c2(x2 – x0)3 + c3(x3 – x0)3.
После преобразования получаем
Решение полученной системы алгебраических уравнений дает следующие значения:
c0 =
;
c1 =
;
c2 =
;
c3 =
;
.
Это тождественно соотношению (7.15) для , только без указания теоретической погрешности.