14. Алгоритмы определения типа формулы.

Существует 2 способа определения типа формулы:

1 способ – табличный.

2 способ – аналитический, основанный на законах равносильности.

15. Двойственные формулы. Принцип двойственности.

Назовем формулу алгебры логики двойственной к формуле , если = .Будем говорить, что операция конъюнкции двойственна операции дизъюнкции и наоборот. Всякая формула алгебры логики может быть приведена равносильными преобразованиями к формуле, содержащей только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Поэтому, учитывая законы де Моргана и двойного отрицания, две формулы алгебры логики NиM, содержащие только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, будут двойственными, если одна получается из другой заменой каждой операции на двойственную и 1 заменяется на 0, а 0 на 1.

16. ДНФ. Теорема о ДНФ.

Формула вида (краткая запись ), где – конъюнкции называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

В силу приведенного определения ДНФ будут, например, выражения: , .

Теорема: Для любой формулы алгебры логики существует равносильная ей дизъюнктивная нормальная форма.

17. КНФ. Теорема о КНФ.

Форма вида (краткая запись ), где -дизъюнкции называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Такими являются, например, выражения: , .

Теорема 4 Для любой формулы алгебры логики существует равносильная ей конъюнктивная нормальная форма.

18. Законы равносильности алгебры Жегалкина.

1. – закон коммутативности;

2. – закон ассоциативности;

3. – закон дистрибутивности;

4. ;

5. .

19. Полином Жегалкина. Теорема о полиноме Жегалкина.

Полиномом Жегалкина называется полином вида причем в каждом наборе все координаты различны, а суммирование ведется по некоторому множеству таких не совпадающих наборов, а – константа 0 или 1.

Например, выражение является полиномом Жегалкина, а выражения и – нет, так как в первом выражении имеется конъюнкция, содержащая две переменные y, а второе выражение содержит два одинаковых слагаемых и .

Теорема Каждая булева функция может быть единственным образом выражена при помощи полинома Жегалкина.

20. Сднф и алгоритмы ее построения.

Всякая булева функция f(x₁,x₂,…,x_n) может быть представлена в следующей форме:

, (3.1)

где 1 ≤ k ≤ n, в дизъюнкции берется по всем наборам значений переменных.

Это представление носит название разложения функции по переменным . Например, при n = 4, k = 2 разложение (3.1) имеет вид:

.

Докажем справедливость разложения (3.1). Для этого возьмем произвольный набор значений переменных . Покажем, что левая и правая части соотношения (3.1) принимают при нем одно и то же значение. Действительно, так как x^G = 1 тогда и только тогда, когда x = G, то среди 2^К конъюнкции правой части (3.1) в единицу обращается только одна, в которой . Все остальные конъюнкции равны нулю.

Поэтому . В качестве следствия из разложения (3.1) получаем следующие два специальных разложения.

Разложение по переменной x_n:

(3.2)

Если булева функция не есть константа 0, то справедливо разложение

Разложение по всем переменным:

(3.3)

где дизъюнкция берется по всем наборам , при которых значение функции равно 1.

Разложение (3.3) называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (сокращенная запись СДНФ) функции.

Разложение (3.3) дает способ построения СДНФ. Для этого в таблице истинности отмечаем все строки , в которых . Для каждой такой строки образуем конъюнкцию и затем все полученные конъюнкции соединяем знаком дизъюнкции.

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между таблицей истинности функции и ее СДНФ. А это значит, что СДНФ для булевой функции единственна.

Единая булева функция, не имеющая СДНФ, есть константа 0.