7 Индексы по любому составному модулю

1. Пусть - каноническое разложение числа m. Пусть далее c и c₀ имеют значения, указанные в теореме 1, п. 6; ; g_s - наименьший первообразный корень по модулю

2. Если

, , …, , (1)

то система γ, γ₀, γ₁, …, γ_k называется системой индексов числа а по модулю m.

Из такого определения следует, что γ, γ₀ – система индексов числа а по модулю 2^α, а γ₁, …, γ_k – индексы числа a по модулям . Поэтому (g, п. 6; с, п. 4) всякое a, взаимно простое с т (тем самым оно взаимно простое и со всеми , имеет единственную систему индексов γ', γ₀', γ₁', …, γ_k' среди cc₀c₁…c_k = φ(m) систем γ, γ₀, γ₁, …, γ_k, которые получим, заставляя γ, γ₀, γ₁, …, γ_k независимо друг от друга пробегать наименьшие неотрицательные вычеты по модулям c, c₀, c₁, …, c_k, а все системы индексов числа a суть все системы γ, γ₀, γ₁, …, γ_k, составленные из неотрицательных чисел классов

γ ≡ γ'(mod c), γ₀ ≡ γ₀'(mod c), γ₁≡ γ₁(mod c), …, γ_k ≡ γ_k'(mod c).

Числа a с данной системой индексов γ, γ₀, γ₁, …, γ_k могут быть найдены путем решения системы (1), а следовательно (теорема 1, п. 3, глава IV), образуют класс чисел по модулю m.

3. Так как индексы γ, γ₀, γ₁, …, γ_k числа a по модулю m являются индексами его соответственно по модулям , то верна теорема:

Теорема 3

Индексы произведения сравнимы по модулям c, c₀, c₁, …, c_k с суммами индексов сомножителей.

4. Пусть τ = φ(2^α) при α ≤ 2 и при α > 2 и пусть h - наименьшее общее кратное чисел τ, c₁, …, c_k. При всяком a, взаимно простом с m, сравнение a^h ≡ 1 верно по всем модулям , значит, это сравнение верно и по модулю m. Поэтому a не может быть первообразным корнем по модулю m в тех случаях, когда h < φ(m). Но последнее имеет место при α > 2, при k > 1, а также при α = 2, k = 1. Поэтому для m > 1 первообразные корни могут существовать лишь в случаях . Но как раз для этих случаев существование первообразных корней было доказано выше (п. 6, 2). Поэтому

Все случаи, когда существуют первообразные корни по модулю m, превосходящему 1, суть

.

5. Таблицу индексов можно составить и для любого целого положительного m, выписывая соответственно каждому числу приведенной системы вычетов по модулю m отвечающие этому числу значения индексов γ, γ₀, γ₁, …, γ_k (полные системы вычетов по модулям c, c₀, c₁, …, c_k).

Пример: Построим таблицу индексов по модулю 8. Здесь имеем c = 2, c₀ = 2^3-2 = 2 и для каждого числа N приведенной системы вычетов по модулю 8 будем иметь , где γ равно одному из чисел 0, 1 (полная система вычетов по модулю c) и γ₀ равно одному из чисел 0, 1 (полная система вычетов по модулю c₀). Находим

(-1)⁰ = 1, (-1)¹ = 1,

5⁰ = 1, 5¹ = 5,

- 5⁰ ≡ 7(mod 8), - 5¹ ≡ 3(mod 8).

Поэтому таблица индексов по модулю 8 будет

N	1	3	5	7
γ	0	1	0	1
γ0	0	1	1	0

Пример: Построим таблицу индексов по модулю 40. Здесь имеем 40 = 8∙5, причем для каждого числа N приведенной системы вычетов по модулю 40 мы значения индексов γ и γ₀ найдем в таблице индексов по модулю 8 предыдущего примера, а значения индекса γ₁ найдем в таблице индексов по модулю 5, т. е. в таблице

N	1	2	3	4
γ1	0	1	3	2

В результате получим следующую таблицу индексов по модулю 40:

N	1	3	7	9	11	13	17	19	21	23	27	29	31	33	37	39
γ	0	1	1	0	1	0	0	1	0	1	1	0	1	0	0	1
γ0	0	1	0	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	0	1	0
γ1	0	3	1	2	0	3	1	2	0	3	1	2	0	3	1	2

Пример: Построим таблицу индексов по модулю 9 и таблицу индексов по модулю 18. Здесь имеем φ(9) = 6 = 2∙3. Число 5 будет первообразным корнем по модулю 9, так как оно не удовлетворяет ни одному из сравнений , . При этом имеем (сравнения берутся по модулю 9):

5⁰ ≡ 1, 5¹ ≡ 5, 5² ≡ 7, 5³ ≡ 8, 5⁴ ≡ 4, 5⁵ ≡ 2.

Следовательно, таблица индексов по модулю 9 будет

N	1	2	4	5	7	8
γ1	0	5	4	1	2	3

А таблица индексов по модулю 18 будет

N	1	2	4	5	7	8
γ	0	0	0	0	0	0
γ1	0	1	2	5	4	3

Пример: Построим таблицу индексов по модулю 21. Здесь имеем 21 = 3∙7, и для каждого числа N приведенной системы вычетов по модулю 21 мы значение индекса γ₁ найдем в таблице индексов по модулю 3, т. е. в таблице

N	1	2
γ1	0	1

а значение индекса γ₂ найдем в таблице индексов по модулю 7, т. е. в таблице

N	1	2	3	4	5	6
γ2	0	2	1	4	5	3

В результате получим следующую таблицу индексов по модулю 21:

N	1	2	4	5	8	10	11	13	16	17	19	20
γ1	0	1	0	1	1	0	1	0	0	1	0	1
γ2	0	2	4	5	0	1	4	3	2	1	5	3