6 Индексы по модулю 2α

1. Для модуля 2 предыдущая теория заменяется несколько более сложной.

2. Пусть α = 1. Тогда 2^α = 2. Имеем φ(2) = 1. Первообразным корнем по модулю 2 будет, например, 1 ≡ - 1(mod 2). Число 1⁰=(- 1)⁰ = 1 образует приведенную систему вычетов по модулю 2.

3. Пусть α =2. Тогда 2^α = 4. Имеем φ(4) = 2. Первообразным корнем по модулю 4 будет, например, 3 ≡ - 1(mod 4). Числа (- 1)⁰ = 1, (- 1)¹ ≡ 3(mod 4) образуют приведенную систему вычетов по модулю 4.

4. Пусть α ≥ 3. Тогда 2^α ≥ 8. Имеем φ(2^α) = 2^α-1. Нетрудно видеть, что первообразных корней в этом случае нет; более точно: показатель, которому принадлежит по модулю 2^α нечетное число x, не превосходит .

Действительно, имеем

x²=1 + 8t₁,

x⁴=1 + 16t₂,

…………..

.

При этом числа, принадлежащие показателю 2^α-2, существуют. Таким числом будет, например, 5. Действительно,

5 = 1+4,

5² = 1 + 8 + 16,

5⁴ = 1 + 16 + 32u₂,

,

откуда видим, что ни одна из степеней не сравнима с 1 по модулю 2^α.

Нетрудно видеть, что числа двух следующих строк:

,

образуют приведенную систему вычетов по модулю 2^α. Действительно, число этих чисел будет 2∙2^α-2 = φ(2^α); числа каждой отдельно взятой строки между собой по модулю 2^α несравнимы (Теорема 1, п. 1); наконец, числа верхней строки несравнимы с числами нижней, так как первые по модулю 4 сравнимы с 1, а вторые с - 1.

5. Для удобства дальнейших исследований мы выразим результаты b, с, d в более единообразной форме, которая будет пригодна и в случае α = 0.

Теорема 1

Пусть

c = 1, c₀ = 1, если α = 0, или α = 1;

c = 2, c₀ = 2^α-2, если α ≥ 0

(таким образом всегда cc₀ = φ(2^α)), и пусть γ и γ₀, независимо друг от друга пробегают наименьшие неотрицательные вычеты

γ = 0, …, с - 1; γ₀ = 0, …, с₀ - 1

по модулям c и c₀. Тогда пробегает приведенную систему вычетов по модулю 2^α.

Теорема 2

Сравнение

(1)

имеет место тогда и только тогда, когда

γ ≡ γ'(mod c), γ₀ ≡ γ₀'(mod c).

Доказательство: При α = 0 теорема очевидна. Поэтому предположим, что α > 0. Пусть наименьшие неотрицательные вычеты по модулям c и c₀, для чисел γ и γ₀, будут r и r₀, а для чисел γ' и γ₀', будут r' и r₀'. Ввиду теоремы 2, п. 1 (- 1 принадлежит показателю c, a 5 принадлежит показателю c₀), сравнение (1) имеет место тогда и только тогда, когда , т. е. (ввиду теоремы 1) когда r = r', r₀ = r₀'.

7. Если

,

то система γ, γ₀ называется системой индексов числа а по модулю 2^α.

Ввиду теоремы 1 всякое a, взаимно простое с 2^α (т. е. нечетное), имеет единственную систему индексов γ', γ₀' среди cc₀ = φ(2^α) пар значений γ, γ₀, указанных в теореме 1.

Зная систему γ', γ₀', мы можем указать и все системы индексов числа a; согласно теореме 2 это будут все пары γ, γ₀ составленные из неотрицательных чисел классов

γ ≡ γ'(mod c), …, γ₀ ≡ γ₀'(mod c).

Непосредственно из данного здесь определения системы индексов следует, что числа с данной системой индексов γ, γ₀ образуют класс чисел по модулю 2^α.

Теорема 3

Индексы произведения сравнимы по модулям c и c₀, с суммами индексов сомножителей.

Доказательство: Пусть γ(а), γ₀(а); ...; γ(l), γ₀(l) - системы индексов чисел a…l. Имеем

.

Следовательно, γ(a)+ ... + γ(l), γ₀(a)+ ... + γ₀(l) - индексы произведения a…l.