Понятие двойственности

1) Симметричные двойственные задачи

Рассмотрим задачу производственного планирования. Пусть предприятие имеет m видов ресурсов объемом единиц. Эти ресурсы должны быть использованы для выпуска n видов продукции. Пусть – норма потребления i-го вида ресурса на производство единицы j-ой продукции; – цена реализации j-ой продукции; – объем производства j-ой продукции, обеспечивающий предприятию максимальную выручку.

План производства следует составить из условия максимизации общей стоимости продукции при ограничениях на использовании ресурсов

,

Или в краткой форме записи математическая модель задачи имеет вид:

(1)

, (2)

, (3)

Задачу (1) – (3) называют исходной.

По исходным данным задачи (1) – (3) сформируем другую экономическую задачу.

Предположим, что предприятию разрешено на его усмотрение реализовать все указанные ресурсы. Необходимо установить цены на них – , , пользуясь следующими соображениями:

• покупатель стремится минимизировать их общую стоимость;

• предприятие согласно продать по ценам, дающим прибыль не меньшую, чем выручка, которую оно может получить от реализации изготовленной продукции.

Эти требования можно записать в виде следующей ЗЛП:

,

Или в краткой форме записи:

(4)

, (5)

, (6)

Полученную задачу (4) – (6) называют двойственной. Переменные называются двойственными оценками, или теневыми ценами.

Задачи (1) – (3) и (4) – (6) называют парой взаимно двойственных симметричных задач, т.к. они обладают следующими свойствами:

1. Если в одной задаче ищется максимум целевой функции, то в другой – минимум.

2. Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются правыми частями ограничений другой задачи и, наоборот.

3. В каждой задаче система ограничений задается в виде неравенств, причем все они одного смысла: если задача на max, то все неравенства содержат знаки « », если на min, то все неравенства содержат знаки « ».

4. Матрицы ограничений прямой и двойственной задач являются транспонированными друг к другу.

5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи равно числу переменных другой задачи.

6. Условие неотрицательности переменных сохраняется в обеих задачах.

Примечание: Понятие «прямой» и «двойственной» задач условно.

2) Построение модели двойственной задачи

Используя свойства (1–6), покажем на конкретном примере построение двойственной задачи.

Пример. Пусть исходная задача имеет вид:

,

Нужно составить к ней двойственную.

Р ешение. Запишем расширенную матрицу системы ограничений и транспонируем ее.

	1	–1	2	2			1	2	5	11	2
	2	1	–3	4		АТ=	–1	1	–1	1	3
А =	5	–1	1	3			2	–3	1	2	1
	11	1	2	1			2	4	3	1	min
	2	3	1	max

Теперь запишем двойственную задачу по А^Т с переменными , .

, .

Пример. К заданной задаче записать двойственную:

Решение. Так как задача на min, то все неравенства должны иметь знаки « ». С этой целью второе ограничение умножим на (–1); при этом знак неравенства изменится на противоположный. Теперь задача будет иметь вид:

,

Запишем матрицы А и А^Т.

	1	1	1			1	–2	5
А =	–2	–3	–5		АТ=	1	–3	2
	5	2	min			1	–5	max

Д войственная задача:

, .