32. Криволинейный интеграл первого рода

Криволинейный интеграл 1го рода.

1). ; - диф-ма на [a,b];

; L: x=g(y);

;

2). ; x(t),y(t) – непрерывно диф-ма на ; L:

;

3). ; ; L:

4). ; ;L: ;

; ;

33. Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат.

Двойной интеграл, его вычисление в декартовой прямоугольной системе координат.

; ;

y-трапецевидная область Д.

x-трапецевидная область Д

Пусть в основании цилиндрического тела лежит y-трапецевидная область.

; ;

для y-трапецевидной области

для x-трапецевидной области

Замечание: области более сложного вида разбиваются на сумму трапецевидных областей.

Замена переменной в двойном интеграле.

( *)

Свойства

1. x(u,v), y(u,v) – взаимно однозначны

2. x(u,v), y(u,v) – непрерывные, непр. частн. пр-е 1-го порядка

3. 

P₁: x(u,v), y(u,v)

P_2: x(u+_∆u,v), y(u+_∆u,v)

I – Якобиан(Якоби)

Модуль I – коэффициет растяжения площади в т. с координатами u и v при отображении D на D’.

Вычисление в полярной сист координат.

,

a)

b )

c)

34. Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.

Тройной интеграл.

: , z меняется от поверхности до поверхности.

Замечание: Области более сложного вида надо разбить на области более простого вида. Проектирование области V можно производить и на другую плоскость.

Замена переменных в тройном интеграле.

, где |I| - модуль Якобина.

Геометрический смысл: |I| -коэффициент растяжения объёма при отображении области V на область V’

В цилиндрических координатах:

В сферических координатах:

35. Поверхностный интеграл первого рода.

Поверхностный интеграл1-го рода (ПОВИ-1).

, -гладкая(в каждой точке существует касательная плоскость). Пусть такова, что прямая параллельная OZ пересекает её не более чем в 1-ой точке. Тогда z=f(x,y);

;

Примечание: Можно проецировать и не на поверхность XOY. Например: x= (y,z);

36. Интегралы по ориентированной фигуре от векторной функции и их свойства.

Интеграл по ориентированной фигуре от векторной ф-ции.

Векторная ф-ция 3х переменных x,y,z, определенной на фигуре Ф. Ф-ции P,Q,R называются координатами . Фигура Ф называется ориентированной, если в каждой ее точке М задан некоторый вектор , характеризующий эту фигуру. Диния называется ориентированной, если на ней выбрано направление перемещения.

Гладкая поверхность называется двусторонняя, если нормаль к ней при обходе по замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается к своему первоначальному положению.

1). ; 2). ; 3). ; 4).

5). ; n-я интегральная сумма для векторной ф-ции a(M) по ориентированной с помощью вектора P(n) фигуре Ф. ; 6). (*)

Если (*) существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы , то он называется интегралом по орентированной фигуре Ф от векторной ф-ции a(M).

P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z) a=(P,Q,R)

Если ф-ции P,Q,R непрерывны на гладкой, ограниченной, содержащей граничные точки ориентированной фигуре Ф, то интеграл существует.

Частные случаи интегралов по ориентированной фигуре.

Свойства интеграла по фигуре от векторной ф-ции.

1). ; 2). , c=const

3). ; 4).