41. Скалярные поля. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
Пусть V
– некоторая область в пространстве.
Говорят, что в этой области задано
скалярное поле, если каждой т.
поставлено
в соответствие некоторое число U(M)
(пример – поле температур, освещенности).
Скалярное поле не зависит от выбора
системы координат. Поверхность или
линия, на которой U(M)
принимает постоянное значение называется
поверхностью уровня скалярного поля.
Пусть U(M)
– некоторое скалярное поле.
-
единственный фиксированный вектор.
-фиксированая
точка.
;
;
Если
,
то он называется производной скалярного
поля U(M)
по направлению
в точке
.
lnH-скорость изменения ф-ции U(m) по направлению в точке .
;
;
;
;
;
;
;
принимает наибольшее
значение при
,
т.е. в направлении вектора gradU
в т.
gradU указывает направление наибольшего роста поля в данной точке. | gradU| - скорость роста ф-ции U в данном направлении. Вектро gradU не зависит от выбора системы координат. Grad направлен по поверхности уровня в данной точке.
42. Векторные поля. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула
Остроградского.
Векторные поля и их основные характеристики.
Говорят, что в V
занадо векторное поле, если каждой т.
поставлен
в соответствие некоторый вектор
.
Физ. Векторные поля не зависят от выбора
СК.
Векторная линия – кривая, в каждой точке M которой направлен по касательной к кривой. Векторная трубка – часть пространства, состоящая из целых векторных линий, каждая ВЛ или целиком лежит внутри этой трубки или находится вне ее.
Поток векторного поля. Дивергенция.
Дивиргенцией
векторного поля
называется
скалярная ф-ция
.
Формула Остроградского:
характеризует
плотность источников поля в данной
точке. Не зависит от выбора СК.
Циркуляция и ротор векторного поля.
Ротором (или вихрем)
векторного поля
называется вектор-функция
Ротор характеризует завихренность поля в данной точке.
Ротор является постоянным вектором, направленным вдоль оси вращения OZ. Его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела.
Рассмотрим
.
С- кусочно гладкая пов-ть. КРИ-2
называется циркуляцией
вдоль кривой L
в направлении
.
Если
-силовое
поле, то его циркуляция – работа вдоль
пути L.
(формула Стокса).
43. Циркуляция и ротор векторного поля. Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути в пространстве.
Ротором (или вихрем) векторного поля называется вектор-функция
Ротор характеризует завихренность поля в данной точке.
Ротор является постоянным вектором, направленным вдоль оси вращения OZ. Его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела.
Рассмотрим . С- кусочно гладкая пов-ть. КРИ-2 называется
циркуляцией вдоль кривой L в направлении . Если -силовое поле, то его циркуляция – работа вдоль пути L.
(формула Стокса).
43. Операторы Гамильтона и Лапласа.
Опера́тор Лапла́са (Лапласиан) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом Δ. Функции F он ставит в соответствие функцию
В сферических координатах:
или
Оператор Лапласа часто записывается следующим образом , то есть скалярное произведение оператора набла на себя.
Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами
в n-мерном пространстве.
Для трёхмерного декартового пространства оператор набла определяется следующим образом
Свойства оператора
набла
Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он умножается.
Если умножить вектор набла а скаляр φ, то получится вектор
который представляет
собой градиент функции φ.
Если вектор набла скалярно умножить на вектор , получится скаляр:
то есть дивергенция
вектора
.
Если
умножить на
векторно, то получится ротор вектора
.
Также, произведение
есть оператор Лапласа, и обозначается
Δ. В декартовых координатах оператор
Лапласа определяется следующим образом:
Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:
