1.Комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной

формах. Действия над комплексными числами, извлечение корня из

комплексного числа. Формула Эйлера.

Число z=x+iy, где x,y называется комплексным числом. Число i называется

мнимой единицей, x-действительная часть, y-мнимая часть.

Комплексное число z=x-iy называется сопряженным комплексному числу z.

Модулем комплексного числа z=x+iy называется |z|=

Представление комплексного числа с помощью формулы z=x+iy называется алгебраической формой комплексного числа.

Тригонометрические и показательные формы комплексного числа. Обозначаются через угол , угол между осью OX и радиус вектором, изображающим число z.

Множество углов вида обозначается argz.

argz =

Представление комплексного числа формулой называется показательной формой комплексного числа.

1.Сложение

2.Вычитание

3. Умножение

z1*z2 = r1*r2(cos( 1+ 2) + isin( 1+ 2)

4.Деление

- Формула Муавра (!)

- Формула Эйлера

2.Многочлены и их делимость. Теорема Безу. Основная теорема алгебры.

Разложение многочлена на множители. Критерий тождественности двух

многочленов.

Многочлены.

Многочлен (полином) относительно переменной z - это

2z⁴-5z³+2z=(z²-1)(2 z²-5z+2)+(-3z-2)

Q_m(z) T_k(z) R_c(z)

Значит P_n(z) = Q_m(z) T_k(z) + R_c(z) (*), где m<=n m+k=n, l<n;

Если R_c(z) = 0, то P_n(z) делится на Q_m(z).

Назовем компл. число z₁ корнем многочл. P_n(z), если P_n(z₁).

Теор. БЕЗУ: многочлен не нулевой степени P_n(z) делится на двучлен z-z₁, тогда и только тогда, когда z₁ является корнем P_n(z).

Запишем (*) для P_n(z) и z-z₁: P_n(z) = (z-z₁)T_n-1(z)+ R_c(z) => z:=z₁.

Основная теорема алгебры(Гаусса): всякий многочлен P_n(z) не нулевой степени имеет по крайней мере 1 комплексный корень.

Компл. число z₁ наз. корнем кратности к₁ многочл. P_n(z), если

P_n(z) = (z-z₁)^к1Т_n-k1(z)

Следствие: Многочл. P_n(z) имеет n комлексных корней с учетом их кратности:

P_n(z) = a_n(z-z₁)^к1(z-z₂)^к2…

Пусть z₁ – корень P_n(z) с действ. коэф-ми, тогда корень P_n(z)

P_n( )= = =0

Комплексно-сопряж. корни входят в разложение многочлена парами.

(z-z₁)(z- )=z²+p₁z+q₁

P_n(x) – с действ. коэф.

P_n(x)=a_n(x-x₁)^k1(x-x₂)^k2*…*(x-x_l)^kl(x²+p₁x+q₁)^R1(x²+p₂x+q₂)^R2*…*(x²+p_mx+q_m)^Rm

x₁, x₂,…,x_n – действ. корни

k₁, k₂,…,k_n – их кратности

P₁, P₂,…,P_n, q₁, q₂,…,q_n – действ. числа

k₁+k₂+…+k_l+2R₁+2R₂+…+2R_m = n

Два многочлена одинаковой степени тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях.

3. Рациональные дроби и их разложение на сумму простейших дробей. Методы нахождения коэффициентов разложения.

Опр. , где Pn(z), Qm(z) – многочлены, наз. рациональной дробью.

n>=m – дробь неправильная; n<m – правильная.

Разложение правильной рац. дроби с комплексными коэф. на сумму простейших дробей.

Если - правильная дробь, то , где

z₁, z₂,…, z_l – разл. компл. корни

k₁, k₂,…, k_l – их кратности

то сущ. Такие компл. числа A_i^k, где i=1,2,…,l; k=1,2,…,k_i, то тогда

Разложение простой рац. дроби с действ. коэф. на сумму простейших дробей с действ. коэф.

Пусть - правильная дробь,

x₁, x₂,…, x_l – разл. компл. корни

k₁, k₂,…, k_l – их кратности

p_i²-4q_i<0 для i=1…s

R₁, R₂,…,R_s – кратности пар корней, тогда

Метод неопределённых коэффициентов.

Метод частных значений.