5. Формула наз-ся логическим следствием формулы , если для любых конкретных выск-ий из истинности следует истинность .

Если формула явл-ся логическим следствием формулы , то записывается так: ╞ .

Т.1. (признак логического следствия). Фор­мула будет логическим следствием ф-лы F тогда и только тогда, когда формула F → Н явл-ся тавтологией: ╞ ╞ → .

Д-во.Необх-сть. Дано: ╞ , т.е. если для набора выск-ий имеет место , то . Тогда для любого набора выск-ий имеет место равенство , поскольку равенство нулю возможно лишь в том случае, когда , а , но такая ситуация исключена условием. Сл-но, для любых выск-ий . Это означает, что ф-ла → — тавтология,т.е.╞ → .

Дост-сть. Дано:╞ → . Тогда: для любых выск-ий , откуда . Предположим те­перь, что . Тогда:1→ , откуда, на основании опр-ия импликации, , ибо в противном случае 1→ 0 = 1 — противоречие. Но это значит, по опр-ию логического следствия, что ╞ .

Т.2. Для любых формул ( ) следующие утверждения равносильны:

а) ╞ , б) ╞ , в)╞ ( )→ .

Т.3. Отн-ие логического следования меж­ду формулами алгебры выск-ий обладает следующими свойствами:

а) ╞ для ;

б)если ╞ для и ╞ , то ╞ .

Т.3. Две ф-лы алгебры выск-ий равносильны тогда и только тогда, когда каждая из них явл-ся логическим следствием другой: ╞ и ╞ .

Замечание. Если некоторая ф-ла явл-ся тавтологией, то и всякое ее логическое следствие также явл-ся тавтологией. Символически: если ╞ и ╞ , то ╞ .

6. Правила вывода

Если в процессе дедуктивного рассуждения некоторое ут­верждение G выводится из утверждений , то говорят, что справедливо правило вывода:

Основные правила вывода:

Правило modus ponens: .

Это правило означает: от утверждения об истинности посыл­кой с помощью другой посылки переходят к утверж­дению об истинности следствия G.

Правило modus tollens: . От отрицания истинности посылки G с помощью посылки переходят к отрицанию истинности F.

Правило введения конъюнкции: .

Правила удаления конъюнкции: и .

Правила введения дизъюнкции: и

Правило контрапозиции: .

Правило силлогизма (цепного заключения): .

Правило перестановки посылок: .

Правила объед-ия и разъединения посы­лок: и

Приложение алгебры выск-ий к логико-матем-ой практике. Прямая и обратная теоремы. Многие математические теоремы имеют структуру, выражаемую ф-лой . Утверждение X наз-ся условием теоремы, а утвержде­ние Y — ее заключением.

Если некоторая матем-ая теорема имеет структуру, выражаемую ф-лой X→Y, то высказывание Y наз-­ся необходимым условием для выск-ия X, а выск-ие X наз-ся доста­точным условием для выск-ия Y.

Обратная теорема — такая, в к-ой условие и заключение прямой теоремы поменялись местами.Если некоторая теорема имеет форму X→Y, то утверждение Y→Х наз-ся обратным для данной теоре­мы. Это утверждение может быть справедливым, и тогда оно наз-ся теоремой обратной для теоремы X→Y, к-ая, в свою очередь, наз-ся прямой теоремой.

Обратная теорема — такая, в к-ой условие и заключение прямой теоремы поменялись местами.

Противоположная и обратная противоположной теоремы. Закон контрапозиции. Для теоремы, сформулированной в ви­де импликации X→Y, кроме обратного утверждения Y→Х можно сформулировать противоположное утверждение. Им наз-ся утверждение вида . Утверждение, про­тивоположное данной теореме, может быть также теоремой, то есть быть истинным выск-ием, но может таковым и не быть. Это следует из того, что формулы X→Y и не равносильны.

Теорема, обратная противоположной: . Мы не случайно наз­вали теоремой утверждение, обратное противоположному.

Оно действительно будет истинным тогда и только тогда, когда истинно исходное утверждение, что вытекает из рав­носильности X→У , называе­мой законом контрапозиции. Т.о. на основании за­кона контрапозиции предложение, обратно противополож­ное какой-либо теореме, само явл-ся теоремой, и вместо док-ва данной теоремы можно доказывать обратно противоположную ей теорему.

Методы матем-ских док-ств. На основании закона контрапозиции можно вместо теоремы X→У дока­зывать обратно противоположную ей теорему: . Этот метод док-ва теорем, называемый док-вом от противного, часто используется в математике.

Т.1. (об обратимости системы импликаций, или принцип полной дизъюнкции). Пусть справедливы все следующие прямые теоремы ( ):

, , …, — причем из посылок по меньшей мере одна выполняется (истинна), а следствия попарно исключают друг друга Тогда справедливы и все обратные импликации: , , …, .

Умозаключение есть логическая (мыслительная) операция (процедура), состоящая в получении нового суждения из одного или нескольких ранее известных сужде­ний. Ранее известные суждения, входящие в состав умозаключе­ния, наз-ся его посылками, а новое суждение наз-ся его следствием (или заключением). Рассуждение есть последовательность умозаключений, причем посылками последующих умозаключений служат следствия предыдущих умозаключений данной последовательности.