1.5. Задачи теории погрешностей

Прямая задача теории погрешностей

Пусть в некоторой области G n-мерного числового пространства рассматривается непрерывно дифференцируемая функция

y = f(x₁, ... , x_n).

Пусть в точке (x₁, ..., x_n), принадлежащей области G, нужно вычислить ее (функции) значение. Известны лишь приближенные значения аргументов (а₁, ..., а_n)  G, и их погрешности. Естественно, что это будет приближенное значение

y* = f(а₁, а₂, ... , а_n).

Нужно оценить его абсолютную погрешность

y* = | y – y* | .

Для функции одного аргумента y = f(x) ее абсолютная погрешность, вызываемая достаточно малой погрешностью а, оценивается величиной

y* = .

Обратная задача теории погрешностей

Она состоит в определении допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции.

Для функции одной переменной y = f(x) абсолютную погрешность можно вычислить приближенно по формуле

.

Для функций нескольких переменных y = f(x₁, ... , x_n) задача решается при следующих ограничениях.

Если значение одного из аргументов значительно труднее измерить или вычислить с той же точностью, что и значение остальных аргументов, то погрешность именно этого аргумента и согласовывают с требуемой погрешностью функции.

Если значения всех аргументов можно одинаково легко определить с любой точностью, то применяют принцип равных влияний, т.е. учитывают, что все слагаемые

,

равны между собой. Тогда абсолютные погрешности всех аргументов определяются формулой

.

1.6. Понятия устойчивости, корректности постановки задач и сходимости численного решения

Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины х находится значение искомой величины у. Если исходная величина имеет абсолютную погрешность х, то решение у имеет погрешность у.

Задача называется устойчивой по исходному параметру х, если решение у непрерывно зависит от х, т.е. малое приращение исходной величины х приводит к малому приращению искомой величины у. Другими словами, малые погрешности в исходной величине приводят к малым погрешностям в результате расчетов.

Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении или вовсе к неверному результату.

Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным.

Понятие сходимости численного решения вводится для итерационных процессов. По результатам многократного повторения итерационного процесса получаем последовательность приближенных значений . Говорят, что эта последовательность сходится к точному решению, если .

Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью. Эти понятия будут рассматриваться в последующих разделах курса.

1.7. Некоторые обобщенные требования к выбору численных методов

Рассмотренные выше вопросы о погрешностях являются одними из важнейших моментов при выборе численного метода. В основе выбора численного метода лежат следующие соображения.

1) Можно утверждать, что нет ни одного метода, пригодного для решения всех задач одного и того же класса. Поэтому всегда стоит задача выбора численного метода (ЧМ), сообразуясь из конкретной технической задачи.

2) Численный метод можно считать удачно выбранным:

– если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а погрешность округлений в несколько раз меньше погрешности метода;

– если неустранимая погрешность отсутствует, то погрешность метода должна быть несколько меньше заданной точности;

– завышенное снижение погрешности численного метода приводит не к повышению точности результатов, а к необоснованному увеличению объема вычислений.

3) Предпочтение отдается методу, который:

– реализуется с помощью меньшего числа действий;

– требует меньшего объема памяти ЭВМ;

– логически является более простым.

Перечисленные условия обычно противоречат друг другу, поэтому часто при выборе численного метода приходится соблюдать компромисс между ними.

4) Численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.

5) По возможности нужно прибегать к существующему программному обеспечению ЭВМ для решения типовых задач.

6) Нужно помнить всегда, что ЭВМ многократно увеличивает некомпетентность Исполнителя технической задачи.