4. Метод Рунге-Кутта

На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Идея его реализации стоит в подгонке ряда Тейлора при разложении искомой функции y = y(x) в окрестностях узлов сетки в плане повышения точности этого разложения, а именно, увеличение числа производных высшего порядка без их непосредственного определения из-за сложности аналитических выражений полных производных по x от функции f(x,y).

Рассмотрим наиболее широко применяемую на практике разностную схему четвертого порядка.

Ее алгоритм состоит в следующем:

(22)

где ; ;

; .

В данной расчетной схеме Рунге-Кутта на каждом шаге вычисления y_i нужно 4-е раза обратиться к правой части уравнения f(x, y), т.е. метод Рунге-Кутта (22) требует бóльшего объема вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что позволяет проводить расчет с большим шагом.

Можно показать, что метод Эйлера и его модифицированный вариант является аналогом метода Рунге-Кутта первого и второго порядка, однако для достижения одинаковой точности у них шаг расчета будет значительно меньше.

Для данного метода шаг расчета можно менять при переходе от одной точке к другой. Для контроля правильности выбора шага h рекомендуется вычислять дробь

.

Величина Q не должна превышать нескольких сотых. В противном случае h следует уменьшать.

Оценка погрешности метода затруднительна. Чаще всего используется грубая оценка погрешности по формуле , где y(x_n) – значение точного решения уравнения (4) в точке x_n, а y , y_n – приближенное решение, полученное с шагом h/2 и h.

При реализации (на ЭВМ) метода Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага, обычно в каждой точке x_i и делают двойной просчет сначала с шагом h, потом с h/2. Если полученное y_i при этом различается в пределах допустимой точности, то шаг h для следующей точки x_i+1 удваивают, в противном случае берут половинный шаг.

В заключении следует отметить, что одношаговые методы Рунге-Кутта успешно могут быть применены к решению систем ДУ первого порядка.

8.3.2. Многошаговые методы решения задачи Коши

В данном случае построение разностных расчетных схем (11) основано на том, что для определения y_i+1 используются результаты не одного, а k предыдущих шагов y_i–k+1, y_i–k+2,..., y_i в данном случае это k шаговый метод.

Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. Исходное уравнение (4) для задачи Коши запишем в виде dY(x) = f(x,y)dx. Проинтегрируем обе части этого соотношения на отрезке [x_i, x_i+1].

Из левой части получаем

, (23)

где y_i+1, y_i – сеточные значения искомой функции. Для вычисления интегралов правой части сначала построим интерполяционный многочлен P_k–1(x) степени (k – 1) для функции f(x,Y) на этом отрезке по значениям f(x_i–k+1,Y_i–k+1), f(x_i–k+2,Y_i–k+2), ..., f(x_i,Y_i). Тогда

. (24)

Приравнивая (23) и (24) получает формулу для определения неизвестного значения сеточной функции y_i+1 в узле х_i+1

. (25)

На основе (25) можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. Порядок точности при этом зависит от степени P_k–1(x), для построения которого используются значения сеточной функции y_i, y_i–1,..., y_i-k+1, вычисленные на k предыдущих узлах.

На практике широко используются следующие многошаговые методы.