5.6. Сглаживание результатов экспериментов

В случае невозможности обеспечения чистоты эксперимента, при получении табличных значений функции, нужно иметь в виду ошибки этих данных. Интерполирование усугубляет эти ошибки. В этом случае для аппроксимации прибегают к построению эмпирических формул, как моделей приближенных функциональных зависимостей. График эмпирических зависимостей не проходит через точки {x_i, y_i}. В результате экспериментальные данные как бы сглаживаются посредством подбора эмпирических формул.

Построение эмпирических формул состоит из 2-х этапов:

1) построение их общего вида;

2) определение наилучших значений содержащихся в них параметров.

1. Общий вид определяется из физических соображений. Если характер зависимостей неизвестен, то формулы выбираются произвольно, сообразуясь с их простотой. Сначала они выбираются из геометрических соображений среди простейших функций.

2. Если эмпирические формулы подобраны, то они представляются в общем виде:

y = (x, a₀, a₁, ..., a_m); (41)

 – известная функция; a_i – неизвестные коэффициенты, которые и подбираются для лучшего приближения.

Тогда отклонение (невязка) определяется:

_i = (x_i, a₀, a₁, ..., a_m) – y_i; i = . (42)

Задача нахождения a_i сводится к минимизации _i. Существует несколько способов: метод выбранных точек, метод средних, метод наименьших квадратов.

1. Метод выбранных точек

В системе координат XOY наносится система точек и проводится простейшая плавная кривая или прямая. На проведенной прямой набирается система точек, число которых должно быть равно числу неизвестных коэффициентов в эмпирической формуле. Координаты (х⁰_j, y⁰_j) старательно измеряются и используются для записи условия прохождения через них прямой.

Из следующей системы находят a_i:

; j = .

2. Метод средних

В данном случае параметры a_i для соотношения (41) находятся из условия:

. (43)

Условно равенство (43) разбивают на систему, состоящую из (m+1) уравнений:

(44)

Решают систему (44) и находят коэффициенты a_i.

3. Метод наименьших квадратов

В данном случае речь идет о среднеквадратичном приближении аппроксимируемой функции посредством многочлена:

, (45)

при этом m  n; случай m = n соответствует интерполяции. На практике, как правило, m = 1,2,3. Мерой отклонения (x) от f(x) на множестве точек (x_i, y_i), (i=0,1,…,n), в данном случаи является соотношение по невязке

S = . (46)

Параметры ā, как независимые переменные, находятся из условия минимума функции S = S(a₀, a₁,…, a_n–1).

Система уравнений

(47)

трактуется следующим образом

= = . (48)

Из системы (47) определяются параметры a₀, a₁, …, a_m. В этом и состоит метод наименьших квадратов (МНК).

5.7. Вычисление многочленов

Из вышеизложенного очевидно, что при аппроксимации очень часто приходиться вычислять значения многочленов вида:

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ . (54)

Если считать в лоб, то нужно (n²+n/2) умножений, n сложений и плюс округления при этих операциях. Поэтому для вычисления используют схему Горнера.

P(x) = a₀ + x(a₁ + x(a₂ + …+ x(a_n–1 + xa_n) … )) . (55)

Здесь требуется n умножений и n сложений.

Алгоритм реализации (54) согласно (55):