![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •22. Линейные однородные уравнения в частных производных 1-го порядка.
- •23.Квазилинейное уравнение в частных производных 1-го порядка.
- •24.Уравнение Пфаффа.
- •25. Линейные дифференциальные уравнения порядка n с переменными коэффициентами
- •26. Линейные однородные д.У. Порядка n.
- •27.Линейные неоднородные уравнения порядка n.
- •28. Линейные однородные дифференциальные уравнения n порядка с постоянными коэффициентами.
- •29. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
- •30.Линейные однородные системы дифф.Ур.
- •31.Линейные неоднородные системы дифф. Ур.
- •32.Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.
- •33.Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •34. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами.
- •35.Устойчивость дифференциальных систем.
- •36.Метод функции Ляпунова.
- •37.Автономные системы.
- •38.Автономные системы на плоскости.
- •11. Интегрирующий множитель
38.Автономные системы на плоскости.
Рассмотрим автономную двумерную систему
(1),
где вектор-функция
,
из пространства
.
Сначала
изучим поведение траекторий системы
(1) в линейном случае, т.е. когда она имеет
вид
,
где
при этом предположим, что система (2)
имеет единственное состояние равновесия
и оно расположено в точке О(0,0).
С
помощью линейного невырожденного
преобразования x=Sy
систему (2) приведем к виду
(3), где
J-вещественная
нормальная форма жардана матрицыA.
В зависимости от вида формы жордана J рассмотрим случаи:
Случай
1: Собственные
числа
матрицы A
вещественны, различны и
.
В этом случае жорданова форма
.
Параметрические ур.траектории системы(3)
Расположение траекторий при
-узел
(бикритический узел). Состояние равновесия
О-узел.
Случ.2:
и вещественны. Состояние равновесия –
седло. Геометрическая картина:
Случ.3:
Корни характеристического ур.системы
(2) комплексно сопряженные и при этом
.
Форма жордана имеет вид
. Перейдем к полярным координатам и в
результате получим систему
.
Отсюда получаем параметрические
ур.траекторий в виде
.
При
траектории образуют спираль. Состояние
равновесия – фокус.
Если α=0, то центр
Случ.4:
Собственные числа матрицы A
,
а нормальная форма жордана имеет вид
.Траектории
системы расположены на кривых
Расположение траекторий – монокритический узел:
Случ.5:
Собственные числа
,
а нормальная жорданова форма имеет вид:
.
Траектории системы (3) расположены на
прямых
Картина расположения траекторий –
дикритический узел:
11. Интегрирующий множитель
Рассмотрим
ур-ние
(1), где
на области G.
Опр.1:
Непрерывно диффер. и не обращающийся в
ноль на области G
будем назыв. интегрирующим множителем
ур-ния (1),
если на обл. G
ур-ние
явл. ур-нием полных диф-лов, если для
ур-ния (1) существуетет интегр-щий
множитель Q,
то в силу
он должен удолетв. соотношению:
На основании его получаем диф. ур-ние частных производных для определ. ф-ции :
(2).
Решение данного диф-ного ур-ния не проще, чем решение исходного диф-ного ур-ния (1).
Отметим, что нас интересует лишь какое-либо решение ур-ния (1).
На
практике данное решение можно найти из
каких-либо особенностей инт-щего
множителя. Чаще всего его ищут либо
,
либо
,
тогда ур-ние (2) для нахождения ф-ции
упрощают.
В
некотором случае решение диф. ур-ний
вида (1) можно применять метод выделения
полных диф. используя известные ф-лы:
Если
в диф-ном ур-нии (1) можно выделить полный
диф-ал в некоторой ф-ции
,
то иногда данное уравнение можно
упростить выполнив замену
.