35.Устойчивость дифференциальных систем.
Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифф.ур.:
(1,32)
Где
t-
время, x
,(t,x)=(t,
,…,
)
Будем
считать,что для сист.(1,32) выполняется
требование сущ.единственности задачи
Коши некоторой области G
из про-ва
.Кроме
того будем считать ,что все решения
данной системы определены при
.
Опр1.
Решение
(t)
системы (1,32) определенное при
наз. Устойчивым
по Ляпунову(устойчивым),если
для
числа
что
все решения x(t)
этой системы удовлетворяющие условию
)-
)
определены при
и для них выполняется неравенство:
(t)
(2.32)
Опр2.Решение (t) системы (1,32) определенное при наз асимптотически устойчивым ,если оно устойчиво по Ляпунову и кроме того при выполнении условия:
)
предел:
(3.32)
Опр.
3
Решение
системы (1.32) наз. Неустойчивой
по Ляпунову,
если для некоторых
,
а также для любого
существует решение
этой системы и сущ.момент времени
что имеет место неравенство :
,
.
36.Метод функции Ляпунова.
Рассмотрим
нормальную обыкновенную систему ДУ (1)
С непрерывной правой частью, определенной
при
Кроме того будем считать, что система
(1)имеет нулевое решение x
Пусть
есть
непрерывно дифференцируемые скалярные
функции, положительные при х
и обращаются в ноль при х=0.
Теорема1.
(теор. Ляпунова об устойчивости) Если
сущ. Функция
v
для которой выполняются соотношения:
(2)
То нулевое решение системы (1) устойчиво.
Функция удовлетворяющее условию (2) наз. функциями Ляпунова
Следствие1.
Если система (1) имеет автономный
(стационарный, независящий от времени
,
певый интеграл v
положительный
в некоторой проколотой окрестности
точки х=0 и v(0)=0
то нулевое решение системы (1) устойчиво.
Теорема2
(теор. Ляпунова об асимптотический
устойчивости)Если сущ. ф-ий v
и w
такие, что выполняются соотношения
,
(3)
То нулевое решение системы (1) асимптотический устойчиво.
Теорема3.(теор.
Ляпунова о неустойчивости) Если сущ.
ф-ий v
и w
такие,что
,
(4)
То нулевое решение системы (1) не устойчиво.
Систему
(1) вида
, будем наз. квазилинейной (системой с
ведущей линейной частью) если равномерно
при
При
этом автономную линейную систему
будем
наз. линеаризацией системы (5) вдоль
нулевого решения.
Теор4.(об устойчивости) Если линеаризация (6) асимптотически устойчива, то асимптотически устойчива и нулевое решение квазилинейной системы (5)
Следствие
2
Если вектор-ф-ия f(x)
непрерывно диф-ма в окрестности т. х=0,
где все характеристические числа матрицы
Якоби
имеют отрицательные действительные
чисти, то нулевое решение автономной
системы
асимптотически
устойчиво.
Теор5( о неустойчивости) Если хотя бы одно характеристическое число матрицы А имеет положительную действительную часть, то нулевое решение квазилинейной системы (5) не устойчиво.
37.Автономные системы.
Рассмотрим
автономную систему
(1), где вектор-функция f(x)
определена на всем пространстве
и удовлетворяет условию Липшица по всем
своим аргументом в каждой ограниченной
части пространства
.
Тогда
при начальном условии
существует и единственно решение
системы
(1) определенная в некоторой окрестности
точки t=0.
Это решение рассматривается как закон движения точки в пространстве .
При
этом точка x
описывает некоторую траекторию
зависящая
от выбора начальной точки
.
При
законе движения x=x(t)
вектор скорости определяется по формуле
.
Поэтому автономная система (1) задает
поле скоростей (направлений) в фазовом
пространстве
.
Это означает, что каждой точке x
из фазового пространства ставится в
соответствие вектор
.
Специфика автономной системы (1) у которой в правую часть не входит время t состоит в том, что заданное поле скоростей не меняется с течением времени, т.е. является стационарным.
При
продолжении решения
вправо, т.е. в сторону возрастания t,
возможны 2 ситуации:
1)
решение может быть продолжено на всю
полуось
;
2)при
приближении
конечному t,
(т.е.
решение уходит на бесконечность).
Далее будем считать, что всегда имеет место первая ситуация. Покажем, что это ограничение не уменьшает общности. В самом деле вместе с системой (1) рассмотрим автономную систему
(2),
где скалярная функция
и удовлетворяет тем же условиям, что и
вектор-функция f(x).
Эта система обладает теми же траекториями,
что и система (1), отличается только
скорости прохождения по эти траекториям.
Поэтому можно подобрать скалярную функцию r так, чтобы скорость движения определяемая системой (2) была ограниченной. В этом случае движущаяся точка не может уйти в бесконечность за конечное время, т.е.2-ая ситуация не возможна.
Для каждой точки данная вектор-функция дает решение системы (1), поэтому выражение (3) определяет точку в которую перемещается точка за момент времени t.
Вектор-функция (3) обладает следующими свойствами:
1) она непрерывна по совокупности переменных;
2)
3)
.
Из
свойства 2) ,3) вытекает, что при фиксированных
параметрах t
отображение
,
пространства
на себя являются взаимно обратным.
Свойство: Если две траектории имеют общую точку, то они совпадают, а соответствующие решения отличаются лишь сдвигом по времени.
Т.1:Решение x(t) системы (1) может быть только одного из следующих трёх видов:
1)
непериодическое, для которого
при
;
2)периодическое
для которого найдется такая постоянная
T
(период),
что
,а
при
;
3)
постоянное, для которого
Траектории соответствующие 1-му виду назыв. незамкнутыми ; 2- замкнутыми; 3- точкой покоя или состоянием равновесия.