Вопрос 70-72

Электромагнитные волны распространяются с конечной скоростью. Это придает процессам, происходящим в электрических цепях, волновой характер, т.е. токи и напряжения в электрической цепи оказываются зависящими не только от времени t, но и от координаты сечения цепи x, т.е. U(x,t); i(x,t).

Если >>L, то участки цепи, состоят из элементов, обладающих только одним свойством и называются цепями с сосредоточенными параметрами, где  = сТ = с/f – длина электромагнитной волны. Это расстояние между двумя точками, фазы колебаний в которых отличаются на 2π. Здесь с – скорость распространения волны; Т – период; f – частота; l – геометрический размер цепи. Все магнитные поля сосредоточены в катушках (L), все электрические поля – в конденсаторах (C), а потери – в резисторах (R).

Если <l, то в цепи невозможно выделить участок, обладающий одним свойством. Каждый участок цепи обладает одновременно свойствами R, L, C-элементов, т.е. параметры элементов как бы распределены по всему участку цепи. Такие цепи называют цепями с распределенными параметрами.

На частоте f = 1 кГц цепь длины l = 30÷40 км является цепью с распределенными параметрами. А на частоте f = 1 ГГц цепь длиной l = 2÷3 мм также является цепью с распределенными параметрами.

Примерами цепей с распределенными параметрами являются:

- воздушно-двухпроводная линия;

- электрический кабель;

- коаксиальный кабель;

- полосковая линия, прямоугольный или круглый волновод и т.д.

Цепи с распределенными параметрами часто называют длинными линиями.

Понятие о длинной линии и распространение волн в ней

Рассмотрим воздушную двухпроводную линию, длина которой соизмерима или больше длины электромагнитной волны (рис. 9.1, а). При протекании тока по проводам вокруг них возникает магнитное поле Н, что свидетельствует о наличии индуктивности, распределенной вдоль линии. Между проводами возникает электрическое поле, что говорит о емкости. Провода и диэлектрик между проводами нагреваются, что свидетельствует о наличии потерь, т.е. говорит о сопротивлении.

H

E

X

İ₂

E₀

z_i

z_н

dx

0

dx

L₀dx

R₀dx

C₀dx

G₀dx

а б Рис. 9.1

Количественно физические параметры длинной линии характеризуются следующими погонными параметрами, т.е. параметрами, приходящимися на единицу длины:

L₀ – погонная индуктивность. Определяется как индуктивность короткозамкнутого отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения Гн/м.

R₀ – погонное сопротивление. Определяется как сопротивление короткозамкнутого отрезка проводов длиной 1 м. Единица измерения Ом/м.

C₀ – погонная емкость. Определяется как емкость между проводами разомкнутого на конце отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения Ф/м.

G₀ – поперечная проводимость. Определяется как проводимость между проводами, разомкнутыми на конце отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения См/м.

Выделим участок длины dx. Его можно представить эквивалентной схемой, приведенной на рис. 9.1, б.

Е сли погонные параметры не зависят от x, то линии называются однородными, если погонные параметры зависят от координаты х, неоднородными. Если R₀ = G₀ = 0, то линию называют линией без потерь.

Составим уравнения, позволяющие определить напряжение и ток в любом сечении длинной линии, для длинной линии без потерь (рис. 9.2). Запишем выражения относительно приращений напряжения и тока:

; (9.1) . (9.2)

Поделим первое и второе уравнение на dx, а затем продифференцируем первое уравнение по х, второе – по t, а затем выразим смешанные производные:

Полученные (крайние справа) уравнения для линии без потерь называются волновыми.

Уравнение, полученное аналогично, но с учетом R и G, для линий с потерями, называются телеграфными. Они записываются так

В общем случае решение волновых уравнений можно представить выражениями:

г де , функции f₁ и f₂ зависят от начальных и граничных условий, т.е. от сигналов, которые подводятся к длинной линии, но главное, эти функции должны быть дважды дифференцируемыми.

Первое слагаемое называется прямой волной, а второе – обратной волной. С физической точки зрения, прямая волна характеризует сигнал, который распространяется в направлении х, а обратная волна – сигнал, который распространяется вдоль линии в противоположном направлении (рис. 9.3).