Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Изобразим
комплексное число
вектором. Длина этого вектора, т.е.
величина
называется модулем комплексного числа
и обозначается
.
Величину
назовем нормой числа
,
иногда удобнее пользоваться ей. Если
-- действительное число, то приходим к
модулю действительного числа, ибо
.
Если
,
то угол, который образует вектор
с действительной осью называется
аргументом комплексного числа
и обозначается
Пусть
– модуль и аргумент ненулевого
комплексного числа. Тогда
(1)
Выражение
называется
тригонометрической формой записи
комплексного числа.
Свойства модуля. Для любых комплексных чисел имеют место соотношения:
а)
,
б)
(неравенство треугольника);
в) (непрерывность
модуля)
Докажем первое равенство:
Извлекая
квадратный корень, получим равенство
.
Второе равенство следует из первого,
ибо оно эквивалентно следующему
соотношению:
.
Неравенство треугольника следует из того, что сумма двух сторон треугольника больше либо равна третьей стороны (см. рис. 1). Равенство достигается только если треугольник вырожден, т.е.представляет из себя отрезок прямой. Свойство в) следует из неравенства треугольника (сторона треугольника больше модуля разности двух других сторон).
СЛЕДСТВИЕ.
Множество комплексных чисел с единичным
модулем (обозначим:
– комплексная единичная окружность)
замкнуто относительно умножения и
обращения и образует подгруппу в
мультипликативной группе поля ℂ.
Перемножим два комплексных числа в тригонометрической форме записи:
Применяя тригонометрические формулы «косинус суммы» и «синус суммы», приходим к следующему правилу: при перемножении комплексных чисел модули умножаются, а аргументы складываются:
(2)
В частности,
перемножая число
на себя n раз, получаем
формулу Муавра:
Умножая
произвольное комплексное число-вектор
на комплексное число вида
,
увеличиваем аргумент у комплексного
числа
на величину
,
не меняя модуля. Это преобразование
соответствует повороту комплексной
плоскости на угол
Умножение на положительное действительное
число
есть гомотетия комплексной плоскости
(растяжение в
раз, если
и сжатие в
раз, если
).
Впрочем мы это знали и ранее, имея в
виду интерпретацию ℂ
матрицами 2×2. Итак, отображение
представляет из себя последовательное выполнение двух геометрических преобразований над вектором -- поворота и гомотетии. В этом и заключается геометрический смысл умножения комплексных чисел.
ПРИМЕР.
Вычислим
.
Для этого сначала найдем модуль и
аргумент числа
:
Для того
чтобы найти аргумент, изобразим
комплексное число
вектором лежащим на биссектрисе первого
квадранта, и ответ
или, по другому,
станет понятен. Далее
Комплексная экспонента
Правило (2) параграфа дает нам право определить экспоненту чисто мнимого числа:
Действительно,
таким образом определенная функция
обладает следующими свойствами:
Здесь первое
равенство есть частный случай (2), когда
,
второе равенство есть не что иное как
формула Муавра, а третье равенство
вытекает из периодичности гармоник.
Заметим, что никакой коллизии в обозначения
в связи с известной экспонентой
действительной переменной не возникает;
равенство аргументов
возможно лишь если
.
Но тогда определение (4) комплексной
экспоненты дает нам значение
,
что совпадает с известным равенством
.
Определение (1) позволяет записать ненулевое комплексное число в показательной форме
В таком виде легче оперировать с комплексными числами, когда речь идет об умножении, делении и возведении в степень. Например,
