Изоморфизм алгебраических систем
Пусть
-- две алгебраические системы c
одной бинарной операцией, а
-- отображение. Отображение ϕ
называется гомоморфным относительно
пары бинарных операций
,
если
для любых
.
Аналогично определяется гомоморфность
относительно пары унарных операций
:
Гомоморфность
относительно пары 0-арных операций
означает просто, что
.
Если
-- алгебраические системы с одной и той
же сигнатурой то отображение
называется гомоморфизмом, если оно
гомоморфно относительно всех пар
соответствующих операций, входящих в
сигнатуру этих систем. Если
,
кроме того сюръективно, то оно называется
эпиморфизмом. Если
,
кроме того инъективно, то оно называется
мономорфизмом. Если
,
кроме того биективно, то оно называется
изоморфизмом. Изоморфизм алгебраической
системы на себя называется автоморфизмом.
Таковым, например, будет тождественное
отображение
.
Если существует изоморфизм между алгебраическими системами, то такие системы называются изоморфными, и они в этом случае неразличимы с точки зрения алгебры. Класс всех алгебраических систем фиксированной сигнатуры распадается на классы изоморфных между собой систем, ибо изоморфизм есть отношение эквивалентности.
ПРИМЕР.
Группы
изоморфны. Изоморфизм задается хорошо
известным отображением
,
обратный к которому будет
.
Группы
Г
руппы
исторические появились как семейства
преобразований множества, удовлетворяющие
следующим положениям: 1) вместе с любыми
двумя преобразованиями в это семейство
входит и их композиция, т.е. последовательное
выполнение данных преобразований, 2)
любое преобразование из этого семейства
биективно, и обратная биекция также
принадлежит семейству, 3) тождественное
преобразование обязательно входит в
любую группу преобразований. Заметим,
что в этом случае фундаментальный
алгебраический закон ассоциативности
автоматически выполняется (см. диаграмму
в § «Матричная
алгебра»). Таким условиям удовлетворяет,
например, совокупность всех движений
евклидовой плоскости, оставляющих
данный равносторонний треугольник ΔABC
на месте (см. рис. 1 ). Обозначим эту
совокупность движений Sym(Δ ) и назовем
ее группой симметрий треугольника. В
этой группе шесть элементов -- тождественное
преобразование Id, два вращения R_120, R_240
на углы
и
относительно центра O треугольника и
три симметрии
относительно медиан этого треугольника.
Имеют место равенства
В частности из этих равенств следует, что в группа Sym(Δ ) не абелева. Обратным преобразованием к симметрии является эта же симметрия, обратное преобразование к повороту на есть поворот на и наоборот.
Другой пример группы преобразований множества -- совокупность всех биекций конечного множества из n элементов на себя. Получается так называемая группа подстановок, которая отдельно изучается.
Примеры абелевых числовых групп.
1. Единичная группа {1} относительно умножения или нулевая группа {0} относительно сложения.
2. Группа (ℤ ,+) целых чисел по сложению.
3. Группа
положительных рациональных
(действительных
)
чисел по умножению
4. Группа всех
ненулевых рациональных
(действительных
)
чисел по умножению.
5. Группа знаков {± 1} по умножению.
Подмножество
H группы G будет подгруппой, если оно
содержит нейтральный элемент e и вместе
с каждыми двумя элементами
содержит
и
.
Например, подмножество положительных
действительных чисел
будет подгруппой в мультипликативной
группе ℝ*. Подгруппа
есть сама по себе группа относительно
индуцированного закона умножения.
Множество, состоящее из одного нейтрального
элемента, а также вся группа заведомо
будут подгруппами; остальные подгруппы
называются собственными.
Если фиксировать
элемент g группы G и рассмотреть все его
степени
,
то это множество образует подгруппу в
силу свойств и определений
Она обозначается gr〈g〉 и называется циклической подгруппой, порожденной элементом g. Если G= gr〈 g〉, то группа G целиком состоит из степеней элемента g. Тогда группа G называется циклической.
ПРИМЕР.
Обозначим через U -- семейство всех
поворотов декартовой плоскости
относительно начала координат.
Относительно композиции, U будет абелевой
группой. Поворот на угол
обозначим
.
Рассмотрим поворот на
и порожденную им подгруппу:
.
Она содержит четыре элемента. В этом
случае будем говорить, что элемент
имеет порядок четыре. Итак,
есть циклическая
группа из четырех элементов (по другому
-- порядка четыре) относительно
последовательного выполнения поворотов.
Если вместо
взять угол в один радиан, то
для любого натурального, а значит и для
любого целого числа m. Это неравенство
вытекает из иррациональности числа π.
Получаем бесконечную циклическую группу
.
Бесконечной циклической группой будет
и группа целых чисел по сложению -- в
ней вместо степеней
мы пишем
.
Группа (ℤ ,+)
порождается как элементом 1, так и
элементом -1; другие ненулевые элементы
порождают собственные подгруппы.