§5 Теорема о базисном миноре.

Говорят, что некоторый ряд является линейной комбинацией параллельных рядов, если элементы данного ряда равны сумме произведений элементов параллельных рядов на некоторые числа , среди которых есть хотя бы одно отличное от нуля. Если среди параллельных рядов матрицы есть хотя бы один, который является линейной комбинацией остальных, то все ряды называются линейно зависимыми, в противном случае ряды называются линейно не зависимыми.

Базисным минором матрицы называется отличный от нуля минор порядок которого равен рангу матрицы. Базисными строками (столбцами) называются строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора.

Теорема: “О базисном миноре”.

Любой не базисный ряд, есть линейная комбинация параллельных ему базисных рядов. Базисные ряды (строки и столбцы) линейно не зависимы.

Доказательство:

Рассмотрим матрицу .

.

Не ограничивая общности можно считать, что базисный минор M (отличный от нуля) расположен в левом верхнем углу матрицы.

- базисный минор порядка .

Все миноры , порядка большего на один, чем базисный минор, равны нулю по определению базисного минора и ранга матрицы.

Очевидно, .

Построим определитель , дописав к базисному минору любую строку матрицы и любой столбец матрицы , где , .

имеет порядок .

Рассмотрим случаи:

1⁰. Если , , тогда (так как данный определитель будет содержать два одинаковых ряда).

2⁰. Если или , тогда (так как этот определитель будет минором порядка на один большего, чем базисный, а он по условию равен 0).

Итак, .

Разложим по элементам - строки:

(*) , где - алгебраические дополнения элементов .

Алгебраическое дополнение элемента равно базисному минору:

.

Из равенства (*) выразим :

.

(**) Тогда , где .

Равенство (**) говорит о том, что - столбец не проходящий через минор , есть линейная комбинация параллельных ему столбцов, проходящих через . То есть столбец равен линейной комбинации базисных столбцов. Для строк аналогичное доказательство с разложением по - столбцу.

3. воспользуемся доказательством от противного. Пусть среди базисных строк, есть линейно зависимые. В этом случае базисный минор содержит пропорциональные строки и равен 0. Но равенство 0 базисного минора противоречит его определению.

4. Следовательно, предположение не верно и базисные строки линейно не зависимы.