4. Непрерывность элементарных функций

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.  Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций  (с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя:

Алгебраические многочлены  ;

Рациональные дроби  ;

Степенные функции  ;

Показательные функции  ;

Логарифмические функции  ;

Тригонометрические функции  ;

Обратные тригонометрические функции  ;

Гиперболические функции  ;

Обратные гиперболические функции  .

Любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Частичное доказательство теоремы мы приведём ниже, в главе о свойствах непрерывных функций. Заметим, что выше мы уже доказали непрерывность функции  . В качестве примера рассмотрим только что введённую функцию  .

Её график таков: 

Рис.2.38.График функции 

Для любой точки   из области определения этой функции либо  , и тогда   при всех   из некоторой окрестности точки  , либо  , и тогда   при всех   из некоторой окрестности точки  . Очевидно, что тогда в первом случае

а во втором --

то есть функция непрерывна в любой точке   своей области определения.

В случае функции   всё дело "портит" точка  : очевидно, что

то есть в точке 0 нет непрерывности справа. (Точно так же нет и непрерывности слева.)

Используя непрерывность элементарных функций, на основании общих теорем можно во многих (простых) случаях находить значение пределов прямой подстановкой предельного значения   в выражение, стоящее под знаком предела. Именно так мы поступим при вычислении предела в следующем примере.

        Пример   Найдём предел  .

Поскольку функция   -- элементарная, причём   -- точка её области определения (так как  ), то для нахождения предела достаточно воспользоваться равенством (2.6) и подставить вместо   предельное значение 0:

    

Прямую подстановку использовать нельзя в тех случаях, когда мы не можем вычислить значение элементарной функции, стоящей под знаком предела, в данной предельной точке  . В этом случае говорят, что задающее функцию выражение, а также и сам предел представляют собойнеопределённость. Выше мы уже встречались с неопределённостями вида  . Бывают ещё неопределённости вида  ,  ,  ,   и других видов, заданные выражениями, не имеющими формального смысла. С символами в этих выражениях нельзя обращаться, как с числами в обычных дробях, разностях, произведениях и т. д. В частности, "дроби"  ,   вовсе не всегда означают пределы, значение которых равно единице. Например,  , а  ;  , а   (Вычислите все эти пределы в качестве упражнения.) "Разности" вида   отнюдь не всегда обозначают неопределённости, которые после раскрытия предела дадут 0. Например,   (здесь на самом деле получается 0), а  .

Во многих случаях, чтобы раскрыть неопределённость, достаточно каким-либо образом преобразовать стоящую под знаком предела функцию, после чего нахождение предела сводится к применению общих теорем (о пределе суммы, произведения, частного и т. п.), а также теорем о первом и втором замечательных пределах.

5. Наклонные асимптоты. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой.

Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

          (33)

или

      (34)

В первом случае получается правая наклонная асимптота, во втором – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. 13.

П ри совпадении пределов (33) и (34) прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0.

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

 Рассмотрим функцию   . График этой функции имеет наклонную асимптоту   при   . Действительно,   при   Однако эта функция не определена ни на каком луче вида   , так что её график не может иметь асимптоты при   .        Рис. 7 . 7 .Наклонная асимптота функции    

7. Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной —интегрирование.

Теорема 5. Если функция   дифференцируема в точке  , то она непрерывна в этой точке.

         Обратное утверждение неверно, т.е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Покажем это.

         Пример.    Найдем частные производные функции  :

.

Полученные формулы теряют смысл в точке  .

         Можно показать иначе, что функция   не имеет частных производных в точке  . В самом деле,  . Эта функция одной переменной  , как известно, не имеет производной в точке  . Последнее и означает, что частная производная   в точке   не существует. Аналогично, не существует частная производная  . При этом функция  , очевидно, непрерывна в точке  . ^