Билет 23.

1 . Градиент функции нескольких переменных, его свойства.Градиентом функции называется ,  един.векторы.Теорема 3.5. Производная функции по направлению вектора равняется проекции градиента этой функции на это направление, т. е. .Проекция некоторого вектора на направление вектора равняется .  един.вектор, совп. по направлению с . .Свойство 1. Производная функции по направлению вектора достигает своего наибольшего значения, если направление вектора совпадает с направлением градиента этой функции.

Свойство 2. Производная функции по направлению вектора равняется нулю, если направление вектора перпендикулярно направлению градиента этой функции. .

2. Вычисление двойных интегралов. Перестановка пределов интегрирования.Пусть функция является непрерывной и ограниченной в области D. Область D ограничена прямыми , и кривыми , , Д анный интеграл найдем как объем криволинейного цилиндра. Отрезок разобьем с помощью произвольно выбранных точек на n элементарных отрезков длиной , i = 1, 2, …, n.Через точки деления проведем плоскости параллельно плоскости Oyz. Эти плоскости разобьют криволинейный цилиндр на n элементарных криволинейных цилиндров. Найдем площадь каждого сечения

, i = 1, 2, …, n.Объем каждого элементарного цилиндра найдем приближенно как произведение основания на высоту . Получим. .Объем всего криволинейного цилиндра приближенно равен

.Перейдем к пределу при и , получим точное значение объема криволинейного цилиндра . Таким образом, двойной интеграл рассматриваемого вида находится по формуле .Если область D ограничена прямыми , и кривыми , , , то аналогично можно получить формулу

.Если область D ограничена прямыми , , , , то двойной интеграл по этой прямоугольной области находится по формуле .При перестановке пределов интегрирования интеграл изменяет знак, т. е.

.Для доказательства используем формулу Ньютона-Лейбница. .

3. Второй признаки сравнения знакоположительных рядов. Теорема 8.4. (Третий признак сравнения рядов). 1. Если отношение последующего члена ряда к предыдущему для ряда не превосходит соответствующего отношения последующего члена ряда к предыдущему для сходящегося ряда , т. е. для любого n, то ряд сходится.2. Если же и ряд расходится, то и ряд расходится. Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию теоремы для любого n имеют место неравенства

.Перемножим почленно левые и правые части этих неравенств, получим

.Сократим одинаковые члены в числителях и знаменателях левой и правой частях неравенства, получим

.Отсюда следует, если ряд сходится, то по теореме 8.2 (первый признак сходимости) сравнения рядов также сходится ряд , так как его члены не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда . На основании той же теоремы, если ряд расходится, то и ряд расходится.

Билет №24

1. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Определение непрерывности функции Пусть на отрезке [a, b] задана функция y = f(x). Точки х и принадлежат интервалу (a, b). Разность называется приращением независимой переменной х в точке , а  приращением функции в точке при данном приращении х (рис. 9).

О пределение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и бесконечно малому приращению независимой переменной соответствует бесконечно малое приращение функции y, т. е. .Например, функция y = С является непрерывной в любой точке х( ; +), так как .

Функция y = х так же является непрерывной в любой точке х( ; +), так как .

Преобразуем условие непрерывности .

Так как , , то . Учитывая это, получим или .

Последнее равенство можно записать следующим образом: . Таким образом, если функция непрерывная, то предел от функции равен функции от предела независимой переменной, т. е. можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции.Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и предел функции в этой точке равен значению функции в предельной точке, т. е. . Определение. Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонние пределы функции в граничных точках равны значениям функции в этих точках, т. е. , .2. Действия над непрерывными функциями.Теорема 1.11. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке также непрерывны следующие функции: 1) ;2) ;3) , где . Д о к о з а т е л ь с т в о. Используем второе определение непрерывности функции в точке и свойства пределов, получим:1) ;2) ;3) .Так как пределы от рассмотренных функций равняются значениям этих функций в предельной точке, то эти функции непрерывны. Непрерывность элементарных функций.1. Многочлен является непрерывной функцией, так как он образован с помощью алгебраических действий сложения и умножения непрерывных функций: постоянных коэффициентов и функции y = х . Свойства непрерывных функций.Свойство 1. Функция y = f(x) непрерывная на отрезке [a, b] принимает свое наибольшее M и наименьшее m значения на этом отрезке.Свойство 2. Функция непрерывная на отрезке хотя бы один раз принимает любое значение, заключенное между наименьшим и наибольшим значениями.Свойство 3. Если непрерывная функция в граничных точках отрезка принимает значения противоположных знаков, то она на этом отрезке хотя бы один раз обращается в нуль.Свойство 4. Если функция y = f(u) непрерывна в точке , а функция u = φ (u) непрерывна в точке , то сложная функция является непрерывной в точке .

5.10.1. Вычисление площадей фигур.Используем геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций .Пусть . Тогда площадь фигуры можно найти по формуле .

В частном случае, если криволинейная трапеция ограничена сверху функцией , а снизу осью Ох (уравнение y = 0), то

.	Если функции пересекаются в точке , так, что при , а при , то .

5.10.2. Вычисление объемов тел вращения.

Пусть требуется вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: ). Составим интегральную сумму и перейдем к пределу

С помощью произвольно выбранных точек разобьем отрезок на n элементарных отрезков длиной i = 1, 2, …, n. Через точки деления проведем плоскости перпендикулярно оси Ох. Получим n элементарных объемов тел вращения. На каждом элементарном отрезке выберем произвольно точку и вычислим значение функции . Каждое элементарное тело вращения заменим цилиндром с радиусом основания и высотой , объем которого равен . Объем всего тела вращения приближенно равен

.Данная сумма является интегральной. Перейдем к пределу при , и получим точное значение объема или .

Если тело образуется вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной линиями: , , то его объем находится по формуле .