2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

, (общий вид),

 непрерывные функции.

Нахождения общего решения: x и y разделяют, чтобы в каждом слагаемом уравнения содержались только x и dx, или y и dy, dx и dy – все в числителях. Разделяем переменные: , , . Если , то .

3. Третий признак сравнения знакоположительных рядов. Т.1. Если отношение последующего члена ряда к предыдущему для ряда не превосходит соответствующего отношения последующего члена ряда к предыдущему для сходящегося ряда , т. е. для любого n, то ряд сходится. 2. Если же и ряд расходится, то и ряд расходится. Док: для любого n: , , , если сходится, сходится, так как . Если расходится, то расходится.

Билет 20.

1. Метод множителей Лагранжа. Левые части уравнения – частые производные ф-ции: (ф-ция Лагранжа). Система для нахождения крит.т.:

, (в случае n переменных):

Ф-ция Лагранжа: .

, крит. Т.

Достаточный признак условного экстремума. Пусть , ф-ция Лагранжа: . Сис-ма для кр. Т.: , найдена критическая точка , , . Наличие экстремума в точке: является ли знакоопределенной функцией приращение функции в этой точке. Если , то , - точка минимума. Если , , - точка максимума.

Дифференциал второго порядка: , , . Минимум – в т. . . , максимум - в точке .

2. Комплексные числа и действия над ними. Комплексным числом называется выражение вида , где  реальная часть z (действительное число),  мнимая часть z,  мнимая единица. и равны, если , . Комплексное число равно нулю, если . Угол называется аргументом комплексного числа. В тригонометрическом виде . Действия над комплексными числами. 1. Сложение (вычитание) комплексных чисел. . 2.Умножение комплексных чисел. , , , . 3. Возведение в степень комплексного числа, . 4. Деление комплексных чисел. 5. Извлечение корня из комплексного числа.

. Формула Эйлера. . Комплексное число в показательной форме: , r – модуль комплексного числа, а   его аргумент.

, .

3. Необходимые и достаточные условия разложения функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена. Функция разлагается в степенной ряд в области G, если он составлен для этой функции и сходится к ней. - ряд Тейлора. Если : - ряд Маклорена. Разложения функций по данным формулам справедливы только в области сходимости этих рядов. Т. Для того чтобы степенной ряд сходился к функции , для которой он составлен, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к нулю при неограниченном увеличении его номера n, т. е. . Док: Необходимость. сходится к , , , . Достаточность. . , сходится.