1. Вывод формулы Тейлора

Теорема. Если в некоторой окрестности точки х = а функция имеет конечные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки этой окрестности справедлива формула

,

где .

Доказательство. Используем теорему Ролля.

Обозначим . Покажем, что разность , где .

Для этого составим вспомогательную функцию

Найдем значения функции в граничных точках отрезка .

. .

Найдем значение производной в точке t =  .

.

выражение для называется остаточным членом в форме Лагранжа. Если представить  в виде , где , то остаточный член примет вид

.

В частном случае, если , , то формула Тейлора примет вид

2. Второй признак сравнения знакоположительных рядов

Теорема. Если отличен от нуля конечный предел отношения соответствующих членов двух знакоположительных рядов и , т. е. , то данные ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. По определению предела по Коши на языке - существование предела отношения членов рядов означает:

. для любого n > N() справедливы неравенства

.

n =1. т. е. .

Тогда для частичных сумм рядов можно записать

, где , ..

1. Ряд сходится. . , можно записать ,

т. е. последовательность частичных сумм ряда ,являющаяся монотонно возрастающей, ограничена, ряд сходится.

2. Ряд расходится, т. е. . Тогда:

. Отсюда - предел частичных сумм второго ряда также неограничен

. Следовательно, ряд расходится.

3. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Формула Лейбница.Гамма-функция

Пусть в определенном интеграле пределы интегрирования и подынтегральная функция зависят от некоторого параметра , т.е. интеграл имеет вид . Требуется найти производную интеграла по этому параметру . Будем считать, что функции , - дифференцируемые функции по . Рассмотрим отдельно три случая, когда в интеграле зависят от параметра либо подынтегральная функция, либо какой-то из пределов интегрирования. 1. Пусть . Найдем Используем теорему Лагранжа о конечном приращении функции, запишем , где . Тогда . Следовательно, . 1.Пусть от параметра зависит верхний предел интегрирования, т. е. . Найдем .По теореме о среднем , где .Тогда . Следовательно,

Если верхний предел интегрирования сложная функция , то производная интеграла найдется как производная сложной функции, т. е. В практических задачах нередко требуется найти производную по x от интеграла . В этом интеграле x под интегралом – это переменная интегрирования, а верхний предел x является фактически параметром. Поэтому .3. Если от параметра зависит только нижний предел интегрирования, то переставим верхний и нижний предел интегрирования и получим Используем формулы дифференцирования сложной функции нескольких переменных, получим производную интеграла, зависящего от параметра в общем случае или Данная формула называется формулой Лейбница. Данный интеграл называется гамма-функцией. Он часто используется в математической статистике и других прикладных разделах высшей математики. Найдем .При применим интегрирование по частям. Получим так как . Таким образом . Получим формулу для нахождения при n целом. Так .как. , то , , и т. д.

Билет 19.

1. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Найти экстремум функции ,x и y удовлетворяют уравнению . задает неявно функцию , подставим в ф-цию z, . Находим критические точки (в них производная = 0). , . Решаем систему:

, , следовательно

, решаем систему вместе с , что образует систему уравнений для нахождения критических точек, которые надо проверить на наличие в них экстремума (достаточный признак). Метод множителей Лагранжа. Левые части уравнения – частые производные ф-ции: (ф-ция Лагранжа). Система для нахождения крит.т.:

, (в случае n переменных):

Ф-ция Лагранжа: .

, крит. Т. .