1.Производная функции по направлению

Пусть функция непрерывная и дифференцируемая, вектор задает направление. Пусть имеется точка и в направлении от нее точка рис. Вектор имеет координаты , , , т. е. .

Модуль вектора , , , .

К осинусы cos, cos, cos называются направляющими косинусами вектора . Если вектор единичный , то и его координатами являются направляющие косинусы, т. е. . Производной функции по направлению вектора в точке называется предел отношения приращения функции в этом направлении к приращению длины (модуля) вектора , при стремящемся к нулю , т. е. . Находим . Таким образом, получена формула дифференцирования функции по направлению вектора .

Градиент функции, его свойства

Градиентом функции называется вектор , где  единичные векторы координатного базиса в прямоугольной декартовой системе координат. Кратко можно записать . Здесь   знак набла. Теорема 3.5. Производная функции по направлению вектора равняется проекции градиента этой функции на это направление, т. е. . Известно, что проекция некоторого вектора на направление вектора равняется .

Здесь   угол между векторами и ,  скалярное произведение векторов,  единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .

Найдем .

Свойство 1. Производная функции по направлению вектора достигает своего наибольшего значения, если направление вектора совпадает с направлением градиента этой функции. Действительно, производную данной функции по направлению вектора можно записать следующим образом , где   угол между градиентом и вектором . Если этот угол равен нулю  = 0 , то косинус этого угла и производная функции принимают наибольшие значения, cos0 = 1, . Свойство 2. Производная функции по направлению вектора равняется нулю, если направление вектора перпендикулярно направлению градиента этой функции. Действительно, . Данные свойства используются при решении задач оптимизации (нахождения наибольшего, наименьшего значений функций) с помощью численных методов. Градиент функции определяет направление наибольшего изменения функции. Направление перпендикулярное градиенту определяет направление, в котором функция не изменяется. Известно, что на поверхности уровня функция не изменяется. Следовательно, градиент функции перпендикулярен поверхности уровня. Это обстоятельство можно использовать для написания уравнения касательной плоскости к поверхности . Пусть точка принадлежит поверхности. Найдем градиент функции в этой точке и напишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Получаем уравнение касательной плоскости .

2. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение неоднородного уравнения, как было показано ранее (теорема 7.4), находится как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т. е. , где  линейно независимые решения однородного уравнения;

 произвольные постоянные;  частное решение исходного неоднородного уравнения. В общем случае линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид , где  постоянные величины. Частные решения однородного уравнения ищут в виде . Производные этой функции равны . Подставляем функцию и ее производные в однородное уравнение . Делим это уравнение на , получаем уравнение . Данное уравнение называется характеристическим. Характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением n-ой степени относительно . Любое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет в комплексной плоскости n корней. Рассмотрим все возможные случаи решения однородного дифференциального уравнения в зависимости от вида корней его характеристического уравнения. Случай 1. Все корни характеристического уравнения вещественные различные. В этом случае дифференциальное уравнение имеет n линейно независимых частных решений . Общее решение однородного уравнения имеет вид или , где  произвольные постоянные. Случай 2. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней , где . Тогда этим корням соответствует два линейно независимых комплексно-сопряженных решения , . Из этих решений составляют два линейно независимых действительных решения . Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид или . Случай 3. Характеристическое уравнение имеет действительный корень  кратности k. Тогда ему соответствует k линейно независимых частных решения однородного уравнения, которые имеют вид . Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид . Случай 4. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней кратности k. Тогда этим корням соответствует 2k линейно независимых частных решений однородного уравнения, которые имеют вид . Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

Или

3. Интегральный признак Коши. Если члены знакоположительного ряда , являющиеся значениями функции целочисленного аргумента , монотонно убывают и стремятся к нулю , то: 1) если сходится, то и ряд сходится; 2) если расходится, то и ряд расходится. Д о к о з а т е л ь с т в о. В прямоугольной декартовой системе координат непрерывная кривая проходит через точки и ограничивает сверху криволинейную трапецию ABCD (рис. 86). Площадь этой криволинейной трапеции равняется . Построим две ступенчатые фигуры с угловыми точками . Эти ступенчатые фигуры состоят из прямоугольников, основания которых равняются единице, а высоты значениям . Найдем площади этих фигур. , ,

где  n-я частичная сумма ряда. Площади этих ступенчатых фигур ограничивают площадь криволинейной трапеции ABCD снизу и сверху  .

Р ассмотрим левую часть этого неравенства  .

При неограниченном возрастании числа n членов ряда частичные суммы ряда монотонно возрастают, так как ряд знакоположительный. При этом интеграл также возрастает и ограничен величиной интеграла . Поэтому , т. е. последовательность частичных сумм ограничена. По теореме Вейерштрасса существует предел . Следовательно, ряд сходится. Рассмотрим правую часть неравенства  . По условию теоремы . Если неограниченно возрастает, то и предел частичных сумм неограниченно возрастает и, следовательно, ряд расходится. Таким образом, интегральный признак Коши в принципе позволяет для любого ряда решить вопрос о его сходимости. Трудность в его применении заключается в нахождении несобственных интегралов. Возможности в их нахождении ограниченные.

Билет 17.

1.Теорема Лагранжа о конечном приращении функции. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируемая в каждой его внутренней точке, то на интервале (a, b) найдется такая точка х = с, что .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

На основании формулы можно утверждать следующее.

Если график функции y = f(x) непрерывный на отрезке и гладкий на интервале , то на этом интервале найдется такая точка , в которой касательная параллельна хорде, стягивающей граничные точки графика функции (рис. 28).

2. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Вид частного решения неоднородного дифференциального уравнения

зависит от вида правой части этого уравнения (функции ) и от величин корней характеристического уравнения. Рассмотрим нахождение частного решения для двух видов функции . Случай 1. Правая часть уравнения , где   вещественное значение,  многочлен m-й степени. В этом случае частное решение уравнения ищется в виде ,где  многочлен m-й степени, s  степень кратности корня характеристического уравнения . Если не является корнем характеристического уравнения, то s = 0. Случай 2. Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид , где  и   вещественные значения, и  многочлены степени и соответственно. В этом случае частное решение дифференциального уравнения ищется в виде ,  многочлены степени , s  кратность корня характеристического уравнения , где совпадает с числом  в показателе степени в функции правой части уравнения. Если  в не совпадает с , то s = 0.

3. . Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбниц. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и стремятся к нулю , то ряд сходится; причем сумма ряда по абсолютной величине не превосходит первого члена ряда .

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению знакочередующегося ряда предполагается, что члены ряда положительные . Рассмотрим две частичные суммы ряда: с четным числом членов ряда и с нечетным числом членов . В сумме с четным числом членов сначала сгруппируем члены попарно следующим образом . Так как члены ряда монотонно убывают ( ), то разность в каждой скобке суммы больше нуля и эта сумма монотонно возрастает с увеличением числа членов 2n. Теперь сгруппируем члены этой суммы следующим образом

. Так как в этой сумме также разность в каждой скобке больше нуля, то сумма монотонно убывает с увеличением числа членов 2n и не превосходит первого члена ряда . Следовательно, последовательность частичных сумм ряда с четным числом членов монотонно возрастает и ограничена. Поэтому по теореме Вейерштрасса она имеет некоторый предел . Найдем также предел частичных сумм ряда с нечетным числом членов. . При нечетном числе членов ряда сумма также не превосходит первого члена ряда . . Таким образом, предел частичных сумм знакочередующегося ряда существует, т. е. ряд всегда сходится, если его члены монотонно убывают и стремятся к нулю. Частичные суммы знакочередующегося ряда меньше первого члена ряда . Члены ряда стремятся к нулю , поэтому сумма ряда не может превосходить первого члена ряда .

Билет 18.