3. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов

Если для знакоположительного ряда существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему при неограниченном возрастании их номеров, т. е. существует предел , то:если  < 1, то ряд сходится; 2) если  > 1, то ряд расходится;3) если  = 1, то данный признак не позволяет решить вопрос о сходимости ряда (ряд может как сходиться, так и расходиться).Д о к а з а т е л ь с т в о.1. Пусть . Если  < 1, то всегда найдется число q, удовлетворяющее неравенству  < q < 1. В этом случае по определению предела существует такое число N, что если номер члена ряда n > N, то отношение меньше этого числа q, т.е. . Данное неравенство представим в следующем виде . Отношение является отношением последующего члена ряда к предыдущему для бесконечной убывающей геометрической прогрессии , которая сходится, так как знаменатель прогрессии меньше единицы (q < 1). В соответствии с теоремой 8.4 (третий признак сравнения рядов) ряд сходится.

2. Пусть . Тогда существует такое число q, которое больше единицы, но меньше , т. е. . В этом случае существует такое число N, что если номер члена ряда n > N, то отношение больше q, т. е. . Тогда по теореме 8.4 ряд расходится.

Данный признак Даламбера является наиболее простым и часто применяемым. Однако он дает ответ на вопрос о сходимости ряда только в тех случаях, когда ряд достаточно быстро сходится или расходится.

Билет 14.

1. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных для приближенных вычислений

1. Вычисление значений функций и их приращений.Используем то, что полный дифференциал является главной линейной частью приращения функции ( ). Пусть известно значение функции в некоторой точке и имеется точка , находящейся в некоторой достаточно малой окрестности точки . Можно найти приращение функции по формуле .Можно найти также значение этой функции в точке по формуле

.Здесь ,  приращения независимых переменных,

 значения частных производных функции в точке .

2.Методы интегрирования определенных интегралов

При вычислении определенных интегралов используются те же методы, что и при нахождении неопределенных интегралов. Однако, имеются некоторые особенности.1. Замена переменной в определенном интеграле отличается от замены переменной в неопределенном интеграле тем, что в результате замены изменяются пределы интегрирования и нет необходимости выполнять обратную замену. Пусть функция непрерывна на отрезке , функция имеет непрерывную производную на отрезке . Тогда .