Нелинейное программирование

В общем виде задача нелинейного программирования формулируется следующим образом:

(1)

где f_j, f – заданные функции от n переменных.

О бозначим: D – множество решений системы ограничений задачи нелинейного программирования (1); вектор .

Р ешением задачи нелинейного программирования (1) называется вектор и число f₀ такие, что

В зависимости от вида целевой функции и ограничений существуют несколько методов решения задач нелинейного программирования.

Графический метод . Алгоритм:

1) На плоскости построить область D допустимых решений системы ограничений задачи.

2 ) Если D = Æ, то задача не имеет решения.

3) Если D ¹ Æ, то построить линию уровня функции , где С – константа.

4 ) Определить направление возрастания (при максимизации) или убывания (при минимизации) функции f.

5 ) Найти точку области допустимых решений D, через которую проходит линия уровня с наибольшим (при максимизации), наименьшим (при минимизации) значением С или установить неограниченность функции f на области D.

6) Определить значения найденной точки и значение

Классический метод (способ сведения задачи к одной переменной ) :

Р ассматривается задача нахождения точек экстремума функции при ограничении

Е сли уравнение можно разрешить относительно одной переменной, например, выразить x₂ через x₁ : , то полученное выражение можно подставить в функцию f. Тогда получим , т. е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет экстремумом функции

Метод множителей Лагранжа

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Метод динамического программирования позволяет находить оптимальное решение в ситуациях, когда имеется некоторое количество различных вариантов поведения, приносящих различные результаты, среди которых необходимо выбрать наилучший.

Задача об инвестировании предприятия

Требуется вложить имеющиеся a единиц средств в n предприятий, прибыль от которых в зависимости от количества x вложенных средств определяется таблицей:

x	g1	g2	…	gn
x1	g1(x1)	g2(x1)	…	gn(x1)
x2	g1(x2)	g2(x2)	…	gn (x2)
…	…	…	…	…
xm	g1(xm)	g2(xm)	…	gn(xm)

(g_i(x_j)- прибыль i-ого предприятия при вложении в него x_j средств), так, чтобы суммарная прибыль со всех предприятий была максимальна.

Разобьем процесс оптимизации на n шагов, и будем на k-ом шаге оптимизировать инвестирование только предприятий с k-ого по n-ое. Но т.к. с 1-го по (k-1)-ое предприятие также вкладываются некоторые средства, то на инвестирование предприятий с k-ого по n-ое остаются не все средства, а некоторая сумма c_k£a. Эта величина и будет являться переменной состояния.

В еличина x_k средств, вкладываемых в k-ое предприятие называется переменной управления на k-ом шаге. Максимально возможную прибыль, которую можно получить с предприятий с k-ого по n-ое при условии, что на их инвестировании осталось c_k средств определяется функцией Беллмана:

Н а первом этапе решения задачи, который называется условной оптимизацией при k=n функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-ого предприятия, при этом на его инвестирование может остаться c_k средств, 0£c_k£a. Очевидно, чтобы получить максимум прибыли с этого последнего предприятия, надо вложить в него все эти средства, т.е. это максимальное значение достигается при некотором значении .

М аксимально возможная прибыль, которая может быть получена с предприятий k-ого по n-ое предприятие будет равна

Б езусловная оптимизация. Зная оптимальное управление на первом шаге , можно найти состояние , а значит и .

Поступая аналогичным образом до n-ого шага, получим оптимальный план инвестирования предприятий.