Связь напряженности и потенциала электростатического поля.
Будем искать, каким образом связаны напряженность электростатического поля, которая является его силовой характеристикой, и потенциал, который есть его энергетическая характеристика поля.
Работа по перемещению единичного точечного положительного электрического заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены достаточно близко друг к другу и x2—x1=dx, равна Exdx. Та же работа равна φ1—φ2=dφ. Приравняв обе формулы, запишем
(1)
где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование осуществляется только по х. Повторив эти рассуждения для осей у и z, найдем вектор Е:
где i, j, k — единичные векторы координатных осей х, у, z.
Из определения градиента следует, что
или
(2)
т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус говорит о том, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону уменьшения потенциала.
Потенциал электростатического поля системы зарядов. Принцип суперпозиции. Потенциал поля точечного диполя.
Потенциальная энергия системы точечных зарядов. В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Qi (i = 1, 2, ... , n). Энергия взаимодействия всех n зарядов определится соотношением
,
где rij - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.
Принцип суперпозиции. Потенциал есть скалярная функция, для неё справедлив принцип суперпозиции. Так для потенциала поля системы точечных зарядов Q1, Q2¼, Qn имеем
,
где ri - расстояние от точки поля, обладающей потенциалом j, до заряда Qi. Если заряд произвольным образом распределен в пространстве, то
,
где r - расстояние от элементарного объема dx, dy, dz до точки (x, y, z), где определяется потенциал; V - объем пространства, в котором распределен заряд.
Рассчитаем
значение потенциала электростатического
поля в точке наблюдения
в предположении, что потенциал бесконечно
удаленной точки пространства равен
нулю и
.
Ниже под величинами
будем понимать модули соответствующих
векторов. Точное выражение для потенциала
в точке
имеет вид:
. (2.2)
Векторы
и
связанны между собой зависимостью
,
Потенциал и разность потенциалов электростатического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости.
Потенциал и разность потенциалов электростатического поля равномерно заряженной сферической поверхности.
Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +0. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией.
Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 128). Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2), 4pr2E=Q/e0, откуда
При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости E от r приведен на рис. 129. Если r'<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (E=0).