Закон Био-Савара-Лапласа

Т оки, текущие по проводникам, создают в окружающем пространстве магнитное поле. Как вычислить магнитное поле произвольного тока? В электростатике мы вначале изучали взаимодействие точечных зарядов (закон взаимодействия – это закон Кулона), затем для определения взаимодействия протяженных заряженных тел применяли принцип суперпозиции, разбивая тела на точечные заряды. В магнитостатике можно использовать тот же прием. Аналогом точечных зарядов являются небольшие по размеру прямолинейные участки проводников с током. Оказывается, что если размеры таких проводников малы, создаваемое ими магнитное поле не зависит от свойств материала проводника, а определяется лишь длиной элемента проводника и током в нем. Изучение магнитного поля, образованного небольшими проводниками с током, можно проводить и на уровне абстрактных моделей, в основе которых так называемые элементы тока. Важно знать закон, по которому вычисляется магнитное поле, созданное элементом тока. Этот закон был установлен в конце 19-го века и назван в честь ученых, открывших его, законом Био–Савара–Лапласа. Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длиной , была получена формула

,

где - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц; - вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный в ту сторону, в которую течет ток; - вектор, проведенный от элемента тока в точку, в которой определяется ; - модуль этого вектора.

В системе СИ , следовательно

(3)

Здесь – магнитная постоянная.

Из этого закона легко определить направление вектора : он должен быть направлен перпендикулярно плоскости, в которой располагаются векторы и , причем его направление совпадает с направлением правого винта, который вращается по кратчайшему пути от к .

Магнитная индукция является силовой характеристикой магнитного поля. Модуль определяется как

, (4)

где - угол между векторами и .

Характеристики магнитного поля, создаваемого любыми токами, можно вычислить, применяя закон Био–Савара–Лапласа совместно с принципом суперпозиции. Покажем это на нескольких примерах.

Магнитное поле прямого тока

П усть имеется тонкий, прямой, бесконечно протяженный проводник, по которому течет ток . Вычислим магнитную индукцию в точке А, находящейся на расстоянии от проводника. Выделим элементарный участок тока . Направим радиус-вектор от элемента тока в точку А. Элемент тока создает в точке А магнитное поле с индукцией . Положение на рисунке выбрано произвольно, вектор от любого другого элемента тока в точке А будет иметь одно и то же направление – перпендикулярно плоскости чертежа. Следовательно, сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Модуль определяется формулой (3).

Упростим эту формулу, выразив входящие в нее величины через один переменный параметр – угол :

; . В итоге получим:

В итоге получили выражение:

(5)

Для всех элементов тока бесконечно длинного прямого проводника угол изменяется в пределах от 0 до . Проинтегрируем в этих пределах полученное выражение:

Таким образом, магнитная индукция поля бесконечно длинного прямого тока определяется выражением:

(6)

Для прямолинейного проводника конечной длины получим.

У гол изменяется в пределах от ₁ до ₂ .

Пределы интегрирования поменялись потому, что

Линии магнитной индукции прямого тока представляют собой концентрические окружности, охватывающие ток.