Глава 4. Теория интеграла
Далее всюду в этой главе рассматриваются однозначные функции.
§1. Понятие интеграла. Теорема Коши.
1.Интеграл
и его свойства.
Для кривой
и функции f(z),
определенной на ней, рассматриваются
интегральные суммы
.
Рис. 4.1.
Интеграл
определяется, как предел этих сумм в
стандартном смысле (характеристика
стремится к нулю, предел не зависит от
выбора разбиения и промежуточных точек
) и обозначается
.
Если кривая имеет параметризацию
,
с непрерывной производной, то интегральные
суммы в определении будут выглядеть
следующим образом
.
Для
непрерывной функции f(z)
и непрерывно дифференцируемой кривой
эти суммы будут сходиться к интегралу
.
Расписывая действительную и мнимую
части, интеграл можно выразить через
криволинейные интегралы
.
Это равенство можно принять за эквивалентное определение интеграла в случае, когда последние два интеграла существуют.
Из свойств криволинейных интегралов следуют соответствующие свойства интеграла по заданной кривой:
1)
Линейность:
.
2) Аддитивность по множеству:
.
3)
.
4)
,
где
l
– длина
кривой. Это неравенство следует из
определения (оценка интегральных сумм).
5) Если
- кусочно гладкая и
сходится равномерно на
к
,
то
.
Это следует из предыдущего свойства.
6)
Определение интеграла по границе
многосвязной области. Пусть граница
области
и
.
Обход по каждому связному куску границы
происходит так, что область остается
слева
Рис. 4.2.
pic4_2
2.Теорема Коши.
Если
D-
ограниченная область,
,
граница которой
- кусочно гладкая Жорданова кривая из
D,
гомотопная нулю (область,
ограниченная этой кривой, односвязна
)
и f
аналитическая в D
,
непрерывная в
,
то
.
Доказательство. Для действительной и мнимой частей интеграла воспользуемся формулой Грина и условиями Коши-Римана:
Формула Грина справедлива и для многосвязных областей. Поэтому справедлива
Обобщенная
теорема Коши.
Пусть
D-
ограниченная область с границей
,
а f
- функция, аналитическая в D
и непрерывная в
,
тогда
.
Следствие. В области D интеграл от аналитической функции не зависит от пути интегрирования, а только от начальной и конечной точек кривой.
Таким образом, интеграл от аналитической функции в многосвязной области D не изменяется, если путь интегрирования непрерывно деформировать, оставляя неподвижными концы.
§2 Интеграл Коши
1.Интегральная формула Коши.
Пусть
D
-
m-связная
область с границей
и f
– аналитическая в D,
непрерывная в
функция.
Имеет место формула
Доказательство.
Если
,
то равенство нулю интеграла следует из
аналитичности подинтегральной функции
для всех
.
Пусть
C
– окружность с центром в
достаточно малого радиуса. Для области
с границей
точка z
является
внешней.
Рис. 4.3.
В этом
случае, согласно обобщенной теореме
Коши
Коши,
откуда следует, что
.
Так как
,
то
. Последнее равенство следует из теоремы
о среднем с некоторой промежуточной
точкой
.
В полученном равенстве
переходим к пределу при
и
получаем требуемое равенство
.
Отметим, что
,
то есть, последний интеграл
является константой, другими словами,
не зависит от r.
Следствие. Теорема о среднем. Если f непрерывна на |z| r и аналитическая в |z|<r, то
2.Интеграл типа Коши. Интегралом типа Коши называется интеграл
,
где
-
кусочно-гладкая замкнутая кривая
Жордана, ограничивающая область D,
а
-
непрерывная на
функция.
Теорема. Интеграл типа Коши является аналитической функцией в области D и
Доказательство. Граница Г предполагается спрямляемой. Обозначим ее длину через l. Выпишем равенства, необходимые для вычисления производной:
Выражение
внутри второго интеграла преобразуется
к виду:
Выберем
окрестность точки z0
, целиком лежащую в области D
Рис. 4.4.
Если
,
то расстояние от
до таких точек z
будет больше чем
,
тогда, если
,
то
,
откуда следует неравенство
.
Таким
образом, существует
.
Аналогичным образом можно доказать
существование старших производных и
формулу для их вычисления.