Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения.

§1 Аналитические функции

1. Дифференцируемость. Условия Коши-Римана, моногенность.

Пусть f(z) – однозначная функция в области D C, . Обозначения: .

Определение. Функция f(z) называется моногенной в точке , если существует конечный предел , который называется производной в точке. В этом случае говорят также, что функция дифференцируема в смысле комплексного анализа.

Замечание: Для существования f(z₀) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой проколотой окрестности точки z₀ имело место представление

- бесконечно малая при z→z₀ . (A = f(z₀)). Это условие можно записать в виде: , так как и поэтому .

Теорема (Условие моногенности). Для того, чтобы однозначная функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) была моногенной в точке z₀ необходимо, а в случае дифференцируемости u, v и достаточно, выполнения условий Коши-Римана

.

Необходимость: При вычислении предела возьмём z = x, тогда f(z₀) = u_x +iv_x. Если брать z = iy, то . Сравнивая, получим требуемые соотношения.

Достаточность: В силу дифференцируемости

(1)

Используя условия Коши-Римана, получаем

Замечание 1. Если функции дифференцируемы, то

.

Действительно, в случае дифференцируемости имеет место равенство (1)

Покажем, что . Действительно: поэтому

Замечание 2. Выполнение равенства и условий Коши-Римана эквивалентно равенству .

Замечание 3^*. Условия Коши-Римана в полярных координатах

(CR)

Действительно:

Далее . Решая эту систему, получим:

Аналогично

,

откуда следует

Тогда и .

Замечание. Так как , то в случае дифференцируемости u, v,

Таким образом, зависит от направления , если , и, наоборот, для моногенной функции (в этом случае ) этот предел не зависит от направления стремления .

2.Голоморфные функции. Аналитичность.

Однозначная функция w=f(z) комплексного переменного, моногенная в некоторой окрестности точки z₀ , называется аналитичной в точке z₀.

Функция называется голоморфной в области D, если она аналитична в каждой точке области D. В этом случае говорят об аналитичности в области.

Вместо слова моногенность употребляют выражение дифференцируемость в смысле комплексного анализа, или просто дифференцируемость.

Так же, как для пределов действительных функций и производных действительных функций доказываются обычные свойства пределов и правил дифференцирования. Например, имеют место следующие свойства:

1. сумма двух аналитичных в точке функций будет аналитичной функцией в этой точке и (f(z) + g(z))=f (z)+g(z)

2. Произведение и частное двух аналитичных в точке функций будет аналитичной функцией в этой точке и

В последнем случае, предполагается, что .

3. Таблица производных аналитических функций выглядит так же, как и для действительных функций.

Пример: . Отметим, что . Действительно,

Поэтому

.

Многочлен: , рациональная функция и дробно- рациональная функция: аналитичны всюду, где они определены.

4. Сложная функция. Пусть аналитична и однозначна в , а f аналитична в D и осуществляет однозначное отображение D в , тогда суперпозиция w=g(f(z)) аналитична в D. Справедливо обычное правило дифференцирования сложной функции

.

Теорема. Сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри круга сходимости и в этом круге ряд можно почленно дифференцировать.

Доказательство: Обозначим . Радиус сходимости ряда совпадает с радиусом сходимости исходного ряда , так как .

Пусть , выберем , удовлетворяющее условию , где R -радиус сходимости рядов . Рассмотрим круг K с центром в и радиуса . Для будет .

Рис. 2.1.

Степенной ряд сходится абсолютно при , поэтому для заданного существует  такое, что .

Для этого N выбираем так, чтобы при выполнялось неравенство

,

тогда при будет выполнено неравенство . Действительно, имеем

Следствие 1. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в круге сходимости любое число раз.

Пример: Доказать, что . Дифференцируем почленно

.

Пример: Доказать, что . Использовать формулы Эйлера. Например, для sin z :

.

Следствие 2. Если степенной ряд сходится в круге к функции f(z), то

Доказательство: Дифференцировать p раз

и подставить z=z₀.

Определение. Если f(z) имеет производные любого порядка, то ряд называется рядом Тейлора функции f(z).

Как это видно из Следствия 2, ряд является рядом Тейлора своей суммы. Из следствия 2 также следует теорема единственности разложения в степенной ряд:

Теорема. Если два ряда и совпадают в круге , то a_k=b_k.

Определение. Функция f(z) называется регулярной в точке z₀ , если она определена в окрестности точки z₀ и в некоторой окрестности этой точки

Функция называется регулярной в области, если она регулярна в каждой точке этой области.

3.Гармонические функции. Сопряженные функции.

Функция называется гармонической в области D, если она имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа

.

Две гармонические функции называются сопряженными, если они связаны между собой условиями Коши-Римана.

Теорема. Если гармоническая функция в связной области D , то для нее существует семейство сопряженных функций, определяемых по формуле

.

Эти функции отличаются на аддитивную постоянную, зависящую от выбора начальной точки

Доказательство . Из условия гармоничности функции следует, что поле потенциальное, тогда его потенциал находится по формуле . Так как , то , следовательно функция является сопряженной к функции Что и требовалось доказать.

Замечание. Если функция f(z) аналитическая в области D , то ее действительная и мнимая части будут сопряженными гармоническими функциями. И, наоборот, по двум сопряженным функциям восстанавливается аналитическая функция .

Эти утверждения непосредственно следуют из теоремы об условиях моногенности.