§3 Некоторые понятия, относящиеся ко множествам. Кривые на комплексной плоскости.

Диаметр множества

«Расстояние» между множествами . В точном смысле, это понятие расстоянием не является, так как не выполняется первое свойство или аксиома расстояния.

Предельная точка множества – точка, в любой проколотой окрестности которой есть хотя бы одна точка множества.

Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные точки. Внутренняя точка множества – точка, принадлежащая множеству вместе с некоторой своей окрестностью, открытое множество – множество, каждая точка которого внутренняя.

Граничная точка множества – любая окрестность точки содержит, как точки из множества, так и точки из его дополнения. Граница множества D (множество всех граничных точек) обозначается , она всегда замкнута (содержит все свои предельные точки).

Связное множество. Любые две точки этого множества можно соединить простой кривой (определение простой кривой приведено чуть ниже), лежащей в этом множестве.

Областью, если не оговорено что-либо другое, будем называть связное открытое множество.

Множество называется n - связным, если его граница состоит из n связных, попарно непересекающихся компонент. Иногда используется термин: n - связная область.

Кривая . На плоскости этому соответствует параметрическое задание

.

Для кривой вводятся понятия: Ориентация кривой или направление обхода, непрерывная кривая: (когда обе функции непрерывны).

Непрерывная кривая называется простой или кривой Жордана, если различным значениям (кроме может быть и ) соответствуют различные точки на комплексной плоскости (у кривой нет самопересечений).

Кривая замкнута, если . (не путать с замкнутостью множества).

Кривая называется гладкой, если и их производные непрерывны и . Если кривая замкнута, то дополнительно требуется ( точнее ).

Кусочно-гладкая кривая. Непрерывная кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.

§4 Функции комплексного переменного

Определение. . Каждому z ставится в соответствие одно или несколько значений w. Множество всевозможных значений называется областью значений функции f . Если сопоставляемое значение единственно, то функция называется однозначной и в этом случае говорят об однозначном отображении D на .

Примеры:

, однозначная функция.

является многозначной функцией.

Определение логарифмической функции (большой или высокий логарифм): -целое, . Функция является многозначной функцией.

Главная ветвь логарифма (маленький логарифм): . Функция является однозначной функцией.

Пример: .

Пример: , (k-любой целое) многозначная функция.

Степенная функция: определяется по формуле . Она может быть для некоторых b многозначной (для натуральных b определение согласуется с операцией возведения в степень путём перемножения).

Пример: . Таким образом, числу -1 соответствует бесконечное число (счетное) значений функции .

Если функция f(z) однозначная, то можно определить обратную функцию . Для этого обозначим через D область определения функции f(z), а область ее значений через . Обратная функция f ^-1 будет определена на и каждому значению w из будет сопоставлять все те значения z из D для которых f(z)=w. Если отображение f(z) не является взаимно однозначным, то обратная функция будет многозначной.

Если f , а следовательно, и f ^-1 однозначные, то отображение z  w = f(z) называется однолистным (взаимно-однозначное отображение). Отметим, что когда мы говорим о функции, то подразумевается не только «закон», но и область определения, где этот закон действует.

Пример 1. Функция отображает однолистно область на верхний полукруг . На слайде показаны образы полярной сетки при отображении .

pic1.5

Пример 2. Функция отображает однолистно область на круг радиуса 1 с вырезом по положительной части вещественной оси. На слайде показаны образы полярной сетки при отображении .

pic1.6

Пример 3. Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата при отображении . Отображение имеет вид

Вертикали переходят в параболы : Ветви этих парабол направлены направо. Горизонтали y=c переходят в параболы Ветви таких парабол направлены налево. На рисунке показаны образы прямоугольной сетки при этом отображении.

pic1_7

Пример 4. Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата при отображении . Для получим . Таким образом, это отображение можно представить в виде:

.

Прямоугольная сетка переходит в полярную сетку (лучи и окружности). На рисунке показаны образы прямоугольной сетки при этом отображении.

pic1_8

Пример 5. Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата при отображении . Расписывая действительную и мнимую части, отображение можно записать в виде:

.

Образы координатной сетки показаны на рисунке.

pic1_9

Пример 6. Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата при отображении (функция Жуковского). Отображение имеет вид

.

На рисунке показаны образы прямоугольной сетки при этом отображении.

pic1_10

Пример 7. Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата при отображении . Отображение имеет вид

.

На рисунке показаны образы прямоугольной сетки при этом отображении.

pic1_11

Ниже будет дано определение однозначной ветви многозначной функции w = f(z). Рассмотрим пример.

Для функции в качестве области определения D₀ возьмём всю комплексную плоскость с вырезом по положительной части действительной оси, .

Рис. 1.12.

В этой области функция при возведении в квадрат дает ( то есть ) и однозначна. Говорят, что на D₀ является однозначной ветвью функции . Функция отображает взаимно однозначно область D₀ на верхнюю полуплоскость. На области рассмотрим функцию . Эта функция также будет однозначной ветвью функции , отображающей взаимно однозначно область на нижнюю полуплоскость. Однозначные ветви можно выделять различными способами.

Определение предела и непрерывность

Определение предела по Коши в точке ,

Аналогично дается определение по Гейне:

.

Замечание: Существование конечного предела эквивалентно существованию двух пределов .

Так, если при , то , при .

Непрерывность функции f(z) в точке =f(z₀), предполагается, что функция определена в некоторой окрестности точки .

В терминах расширенной комплексной плоскости: непрерывна в , если для любой окрестности найдется окрестность такая, что из условия следует .

Замечание: Если то непрерывность в этой точке эквивалентна непрерывности действительной и мнимой части в этой точке.

Пример: Функция является непрерывной в точке z=0 в смысле расширенной комплексной плоскости.